Les constructions géométriques
Éléments de géométrie

Éléments de géométrie

Pour l'exécution des dessins de machines, on s'inspire avantageusement des principes de la géométrie afin de résoudre avec précision et rapidité un grand nombre des problèmes qui se posent.

Nous allons donc décrire brièvement et aussi clairement que possible dans ce chapitre l'application de quelques principes de géométrie que le dessinateur industriel ne saurait ignorer.

La solution, au moyen de la géométrie, des problèmes qui se posent au dessinateur industriel, s'accomplit au moyen de lignes qui servent à déterminer la position de certains traits dans le dessin fini. Ces tracés auxiliaires inspirés de la géométrie doivent toujours être très légers.

Voici donc quelques problèmes de géométrie élémentaire essentiels à la bonne exécution des dessins industriels:

Bissection d'une ligne.— La ligne AB étant donnée (fig. 48), avec une ouverture du compas plus grande que la moitié de AB, on trace des arcs de même rayon qui se coupent  en CD, soit au-dessus et au-dessous de la ligne donnée. En joignant les deux points C et D, on obtiendra une ligne exactement perpendiculaire à AB qui se trouvera ainsi bissectée, c'est-à-dire séparée en deux parties égales.

Fig. 48.— Bissection d'une ligne.

Bissection d'un arc.— Étant donné l'arc AB (fig. 49). A et B servant de centres, et avec une ouverture du compas légèrement plus grande que la moitié de l'arc AB, décrivez des arcs de même rayon qui se coupent en C et D. 88 DESSIN DE MACHINES Une ligne tirée en passant par les points C et D sera la bissectrice de l'arc AB. Fig.

49.— Bissection d'un arc.

Bissection d'un angle.— Étant donné l'angle ABC (fig. 50). Le point B servant de centre, décrivez au compas un arc qui coupera  les côtés du triangle en D et E. Puis en utilisant D et E comme centres, avec une ouverture du compas légèrement plus grande que la moitié de l'arc DE, décrivez des arcs qui se joindront à F. Une ligne droite tracée à partir de B et passant par le point F sera la bissectrice de l'angle ABC.

Fig. 50.— Bissection d'un angle.

Trisection d'un angle droit. — Étant donné l'angle droit ABC (fig. 51). Vous servant de B comme centre, décrivez un arc passant  par D et E sur les côtés de l'angle. Puis, utilisant D et E comme centres et en gardant la même ouverture du compas, tracez des arcs qui couperont l'arc DE à F et G. Les droites tracées de B en passant par F et G diviseront en trois parties égales le triangle ABC — autrement dit, en réaliseront la trisection.

Fig. 51.—Trisection d'un angle droit.

Élever une perpendiculaire sur une droite d'un point donné hors de cette

Étant donnés le point P et la ligne AB (fig. 52). Utilisant P comme centre et avec une ouverture du compas légèrement plus grande que la distance de P à la ligne AB, décrivez un arc qui coupera la ligne AB en C et D. Vous servant ensuite de C, puis de D comme centres, et avec une ouverture du compas plus grande ou plus petite que la distance qui sépare P de C et D. décrivez des arcs qui se couperont soit en E, soit en F. Une droite qui passera par E et P ou F et P sera perpendiculaire à la ligne AB.

Fig. 52.— Élever une perpendiculaire sur une droite d'un point donné hors de cette droite.

Élever une perpendiculaire sur une droite d'un point sur cette droite.

Étant donnés le point P et la ligne AB (fig. 53). Prenant P comme centre, décrivez des arcs qui coupent la ligne AB aux points C et D. Puis,  prenant successivement C et D comme centres, et avec une ouverture du compas plus grande que la moitié de CD, décrivez des arcs qui se coupent en E. Une droite passant par E pour joindre le point P sera perpendiculaire à la ligne donnée AB. Si le point P se trouvait placé vers l'extrémité de la ligne AB, il suffirait de prolonger cette dernière au crayon et de suivre la même procédure.

Fig. 53.— Élever une perpendiculaire sur une droite d'un point sur cette droite.

Division d'une ligne en parties égales.

Étant donnée la ligne AB (fig. 54), qu'il s'agit de diviser en sept parties égales. Partant de l'extrémité B de la droite AB, inscrivez sept divisions d'égale longueur sur une droite indéfinie BC formant avec AB un angle quelconque. Reliez le dernier point de division C au point A de la droite à diviser, puis continuez en reliant à l'aide de droites parallèles tous les points de la ligne BC à la ligne AB qui se trouvera ainsi divisée en sept parties égales,

Fig. 54.— Division d'une droite en parties égales.

Dessiner une circonférence passant par trois points non alignés.

Étant donnés les trois points A, B et C (fig. 55). On joint les points A et B, et B et C, puis on élève des  bissectrices perpendiculaires à AB et BC qui se coupent en O. Le rayon de la circonférence cherchée est OA, ou OB, ou OC. Pour trouver le centre d'une circonférence ou d'un arc, déterminez trois points sur la circonférence ou l'arc et procédez comme il vient d'être indiqué.

Fig. 55.— Dessiner une circonférence par trois points non alignés.

Construction d'un carré connaissant le côté AB (fig. 56).

Prenant A comme centre, et le rayon R égal à AB, décrivez un arc EB. Élevez une perpendiculaire au point A. A l'aide de C et B comme centres, et ayant un  rayon égal à AB, décrivez des arcs qui se coupent en D. Tracez les droites CD et BD pour compléter le carré.

Fig. 56.— Construction d'un carré.

Construction d'un pentagone régulier.

Étant donnée la circonférence dont le centre est O (fig. 57). Tracez un diamètre AB, et un rayon OC qui lui soit perpendiculaire. Bissectez OB en prenant le point D comme centre, puis avec un rayon CE, décrivez l'arc EF. CF constituera l'un des côtés du pentagone inscrit. Avec le même rayon, repérez les trois autres points et reliez-les par des droites.

Fig. 57.— Construction d'un pentagone régulier.

Construction d'un hexagone régulier.

a) La distance AB étant donnée, tracez un cercle dont le diamètre sera cette distance (fig. 58). Puis prenant A et B comme centres, et avec un rayon égal à la moitié de AB, décrivez des arcs qui couperont la circonférence à C, E, D et F. Reliez ensuite ces points.

Fig. 58.— Construction d'un hexagone régulier connaissant la distance A.B.

b) Étant donnée la distance entre des côtés parallèles (fig. 59). Décrivez un cercle dont le diamètre sera égal à la distance séparant ces côtés parallèles. Puis à l'aide d'une équerre allongée 30-60°, tracez des lignes qui formeront tangente avec le cercle à A, B, C, D, E et F.

Fig. 59.— Construction d'un hexagone régulier connaissant la distance entre les côtés parallèles.

Construction d'un octogone régulier.

Étant donné le carré ABCD (fig. 60). Tirez les diagonales du carré. Vous servant alors des angles du carré comme centres et avec un rayon représentant la moitié de ces diagonales, décrivez des arcs qui couperont les côtés du carré. Il ne vous reste qu'à joindre par des droites les points ainsi trouvés.

Fig. 60.— Construction d'un octogone régulier.

Traçage d'un arc tangent à deux droites.

Deux droites, AB et CD, ainsi qu'un rayon R sont donnés (fig, 61). Tirez des lignes 98 DESSIN DE MACHINES parallèles à AB et à CD à une distance R de chacune. L'intersection de ces lignes indiquera le centre de l'arc EF requis. Localisez les points tangents en traçant ces lignes passant par le centre de l'arc perpendiculairement aux lignes tangentes. A B

Fig. 61.— Traçage d'un arc tangent à deux droites.

Traçage d'un arc à angle droit.

L'angle droit ABC et le rayon R étant connus (fig. 62), prenez B comme centre et, avec le rayon R, décrivez un arc qui coupera les côtés de l'angle en D et E. Vous servant alors de D et E comme centres et avec la même ouverture du compas, décrivez des arcs qui se couperont en O. Enfin, prenant O comme centre et toujours avec la même ouverture du compas, décrivez l'arc DE qui sera tangent aux lignes AB et BC.

Fig. 62.— Traçage d'un arc à angle droit

Traçage d'une ellipse.

Étant donnés le grand diamètre (ou grand axe) AB et le petit diamètre (ou petit axe) CD (fig. 63). Prenant comme centre (O) l'intersection de ces deux axes, décrivez des cercles inscrivant le grand . et le petit axe. Tracez ensuite plusieurs droites formant rayons OP, 00, etc., qui couperont la grande circonférence en P et 0 et la petite circonférence en P' et Q'. De P' et Q', tracez des droites parallèles au grand axe (AB), et  de P et 0 tracez des droites parallèles au petit axe (CD). Les points d'intersection de ces lignes: H et H' forment deux points de l'ellipse. Trouvez autant de ces points que nécessaire et ensuite décrivez la courbe.

Fig. 63.—Traçage d'une ellipse.