Projection axonométrique à partir des vues orthogonales

Au lieu de construire des échelles spéciales pour dessiner les projections axonométriques, comme on l'a expliqué dans les sections précédentes, on peut aussi obtenir de telles projections directement à partir de deux vues orthogonales. La première méthode, mise au point et publiée en 1937 par les professeurs L. Eckhart et T. Schmid, est appelée méthode des intersections.

Pour comprendre cette méthode, procédons à l'inverse, c'est-à-dire que nous établissons les vues de face, de dessus et de gauche à partir de la projection axonométrique d'un objet.

À la figure 16.48, la projection axonométrique d'un parallélépipède rectangle est connue.

Figure 16.48
Relation entre la perspective axonométrique et les vues

On suppose que le trièdre de référence OXYZ coupe le plan de projection (plan sur lequel la perspective axonométrique est dessinée) suivant AB, BC et CA. Par conséquent, ces lignes sont en vraie grandeur sur le dessin et, conformément aux principes de la géométrie descriptive, AB, BC et CA sont perpendiculaires à OZ, OX et OY respectivement

Pour déterminer la vraie grandeur de la vue de face de l'objet, on effectue une rotation de la face OAB autour de l'axe AB, la rabattant sur le plan de projection, vers l'intérieur du triangle ABC.

Afin d'éviter le chevauchement entre la face rabattue et la perspective, on translate cette face vers l'extérieur du triangle ABC, ce qui donne 0 'A' B '. Ce triangle est la vraie grandeur de la face OAB et le rectangle tracé est la vue de face de l'objet donné.

On procède de la même façon pour obtenir les vues de dessus et de gauche.
Il s'ensuit que, inversement, on peut déterminer la perspective axonométrique de tout objet à partir de trois ou, le plus souvent, de deux vues orthogonales placées convenablement (figure 16.48) en procédant de la manière pratique suivante.

Faites une esquisse sommaire de l'objet, dans la position désirée (figure 16.49.a).

Figure 16 49.a
Projection axonométrique — Méthode des intersections

Si la forme de l'objet est compliquée, il suffit de représenter la « boîte capable » qui l'enveloppe. Le but est de définir l'orientation des trois axes de référence de l'objet. Tracez ensuite OX, OY et OZ parallèles à ces axes et BC, CA et AB perpendiculaires aux mêmes axes, respectivement.

A l'aide de deux demi-cercles, de diamètres AB et BC, déterminez 0' et 0". AO' et CO" définissent les orientations des lignes de base X et Z, sur lesquelles les vues de face et de gauche seront placées.

Remarquez que les positions des lignes X et Z sont arbitraires, leurs directions seules importent. Il en est de même pour les positions des vues.

A partir de deux points correspondants des deux vues, points 5 par exemple, tracez des lignes de rappel parallèles aux axes OX et OY. Ces lignes de rappel se coupent en un point qui est un sommet de l'objet dans la perspective axonométrique.

En répétant la même démarche pour tous les points, vous obtiendrez, à la fin, la perspective entière.

La perspective est isométrique si les angles choisis entre les axes OX, OY et OZ sont égaux entre eux, elle est dimétrique si deux des trois angles sont égaux et elle est trimétrique si les trois angles sont différents les uns des autres.

Pour situer la perspective à un endroit voulu sur la feuille de papier, il suffit de partir d'un point P de la perspective, de déterminer les points R et S sur les lignes de base X et Z et de placer ensuite les deux vues orthogonales.

Un autre exemple de la méthode d'intersection est illustré à la figure 16.49.b.

Figure 16.49.b
Projection axonométrique — Méthode des intersections

Dans ce cas, même si l'objet à représenter est compliqué, il suffit de commencer avec une
esquisse de la base seulement, selon la disposition voulue. Le troisième axe, OY, est supposé vertical.

Pour déterminer le point A sur l'ellipse représentant le cercle en projection, on part des deux points A correspondants sur les vues de face et de droite.

On peut aussi tracer l'ellipse en déterminant, par projection, ses deux axes et, ensuite, en appliquant une des méthodes exposées à la section Tracés géométriques pour la construction des ellipses.

La deuxième méthode graphique⁶, plus nouvelle, permet aussi d'obtenir directement une projection axonométrique exacte à partir des vues orthogonales mais sans les déplacer (figure 16.50.a). ⁽⁶ Marc Sauvageau: « 3-D Une nouvelle méthode graphique » L'ingénieur, Montréal, mai 1969.)

Figure 16.50
Projection axonométrique
(a) Méthode D-3. (b) L'axograph

Cette méthode nécessite néanmoins l'introduction des directrices dont les directions sont déterminées de la façon suivante (figure 16.50.a).

Deux vues, la vue de face et la vue de droite par exemple, d'un objet sont données. Elles sont à leurs positions normales telles qu'elles sont représentées dans les dessins à vues multiples.

On choisit la position désirée de la perspective axonométrique sur le plan et on trace les directions correspondantes des axes axonométriques OX, OY et OZ. A partir de OD de la vue de droite, on trace la ligne R₁ dont la direction est arbitraire. Cette direction définit celle des lignes de renvoi. R₁ intersecte A₁, le prolongement de OZ, au point M. De M, on trace la ligne D₁ perpendiculaire à la bissectrice de l'angle formé par A₁ et R₁. D₁, est une première directrice.

De la même façon, on détermine la deuxième directrice D₂ à partir du point OF, point correspondant à OD dans la vue de face. La direction de R₂ est, elle aussi, arbitraire. Les directrices déterminées, D₁ et D₂, les directions choisies, A₁ et A₂, des lignes axonométriques ainsi que R₁ et R2 des lignes de renvoi, permettent ensuite de dessiner tous les points de la perspective axonométrique à partir des points correspondants sur les vues.

Par exemple, de SD et SF, on trace des lignes de renvoi parallèles à R₁ et R₂ respectivement, lesquelles coupent D₁ et D₂ à P et à Q.

De ces deux derniers points, on trace des lignes isométriques parallèles à A₁, et A₂ pour obtenir le point de rencontre S qui est le point représentant S_f et S_d dans la perspective.

Un appareil commercial, appelé Axograph⁷ (figure 16.50.b), a été conçu à partir de cette deuxième méthode graphique. A l'aide de trois ensembles de lames et de coulisseaux, on peut tracer directement une perspective axonométrique à partir de deux vues orthogonales régulières.

⁷ L'Axograph a été inventé pat-Marc Sauvageau, professeur agrégé de l'École Polytechnique de l'Université de Montréal.