Les deux axes de symétrie d'une ellipse sont le grand axe et le petit axe (figure 4.47.a).

Figure 4.47
Tracé d'une ellipse

Les foyers E et F sont déterminés par des arcs dont les rayons sont égaux à la moitié du grand axe et dont les centres sont à l'extrémité du petit axe.

Une autre méthode consiste, d'une part, à tracer un demi-cercle de diamètre égal au grand axe et, d'autre part, à tracer G H parallèle au grand axe ainsi que GE et H F parallèles au petit axe.

Une ellipse peut être générée par un point oui se déplace de telle sorte que la somme des distances entre ce point et deux points fixes (les foyers) soit constante et égale au grand axe.

Par exemple, à la figure 4.47.b, on peut construire une ellipse en plaçant une ficelle, dont les extrémités sont nouées aux foyers E et F, autour de C (une extrémité du petit axe) et en déplaçant la pointe du crayon P le long de son orbite maximale, pendant que la ficelle demeure tendue.

Un certain nombre d'autres méthodes de construction sont expliquées dans les sections suivantes.

Construction d'une ellipse par points à l'aide du compas (Figure 4.48).

Figure 4.48
Tracé d'une ellipse par points

Soient le grand axe AB et le petit axe CD. La méthode, décrite dans cette section, est la contrepartie géométrique de la méthode de la corde. Effectuez une construction très légère, comme suit:

I. Pour situer les foyers E et F, tracez un arc de centre C ou D (extrémités du petit axe) et de rayon R, qui est égal à la moitié du grand axe.

II. Entre E et O du grand axe, marquez au hasard un certain nombre de points (ceux à gauche étant plus rapprochés) égal au nombre de points désirés dans chaque quadrant de l'ellipse.

Dans cette figure, cinq points ont été jugés suffisants. Pour tracer de grandes ellipses, il faut utiliser plus de points, de façon à pouvoir tracer une courbe régulière et précise. Commencez la construction depuis n'importe quel point, 3 par exemple.

De E et F comme centres et à partir des rayons A3 et B3 respectivement (mesurés entre les extrémités du grand axe et le point 3), tracez des arcs qui se coupent en quatre points 3, comme l'illustre la figure.

A l'aide des points restants 1, 2, 4 et 5, déterminez, de la même façon, quatre points additionnels sur l'ellipse.

III. Faites un léger croquis de l'ellipse en réunissant les points et, enfin, mettez au net le tracé définitif à l'aide du pistolet.

Construction d'une ellipse par la méthode de la bande de papier (Figure 4.49).

Figure 4.49
Tracé d'une ellipse par la méthode de la bande de papier.

On peut préparer une bande, longue ou courte, de papier fort ou de carton, comme l'illustre la figure. Dans les deux cas, reportez sur le bord de la bande des longueurs égales à la moitié du grand axe et à la moitié du petit axe. Dans un cas, ces longueurs sont superposées; dans l'autre, elles sont bout à bout.

Pour utiliser l'une ou l'autre méthode, placez la bande de sorte que deux des points sont sur les axes respectifs, le troisième point sera alors sur la courbe et il peut être marqué d'un petit point.

Déterminez des points additionnels en déplaçant la bande à d'autres positions et en gardant toujours les deux points exactement sur leurs axes respectifs.

Il faut prolonger les axes pour utiliser la longue bande de papier. Déterminez assez de points pour obtenir une ellipse régulière et symétrique. Esquissez légèrement l'ellipse à l'aide des points obtenus, puis mettez-la au net à l'aide du pistolet.

Construction d'une ellipse par la méthode des cercles concentriques (Figure 4.50).

Figure 4.50
Tracé d'une ellipse par la méthode des cercles concentriques

Si l'on regarde un cercle de telle sorte que la direction d'observation est perpendiculaire au plan de celui-ci, comme dans le cas de la pièce d'un dollar en (a), le cercle est de grandeur nature et de forme réelle.

Si l'on regarde le cercle sous un angle, tel que celui en (b), il apparaît comme une ellipse. Si l'on regarde le cercle de profil, il apparaît comme une droite, comme celui en (c). Le cas illustré en (b) est à l'origine de la méthode de construction de l'ellipse à l'aide de cercles concentriques.

I. Tracez deux cercles dont les diamètres sont les deux axes donnés de l'ellipse (cercle principal et cercle secondaire).

Tracez aussi une diagonale quelconque XX passant par le centre O.

Par les points X où la diagonale coupe le grand cercle, tracez les lignes XE parallèles au petit axe; depuis les points H où la diagonale coupe le petit cercle, tracez les lignes HE parallèles au grand axe.

Les points d'intersection E sont des points de l'ellipse. Deux points additionnels, S et R, peuvent être déterminés par le prolongement des lignes XE et HE, ce qui donne un total de quatre points à partir de la diagonale XX.

II. Tracez autant de diagonales additionnelles qu'il en faut pour obtenir un nombre suffisant de points de façon à définir une ellipse régulière et symétrique, chacune d'elles fournissant quatre points de l'ellipse. Notez qu'à l'endroit où la courbure est plus grande (près des bouts de l'ellipse), les points sont plus près les uns des autres pour mieux établir la courbe.

III. Esquissez légèrement l'ellipse à l'aide des points obtenus; mettez-la au net à l'aide du pistolet.

Note: II est évident que, en(l) de la figure 4.50, ZE/ZX = OH/OX = b/a où • b représente la moitié du petit axe et a, la moitié du grand axe. L'aire de l'ellipse est donc égale à l'aire du cercle circonscrit multiplié par b/a, c'est-à-dire à πab.

Construction d'une ellipse à partir des axes conjugués. Méthode du cercle oblique (Figure 4.51).

Figure 4.51
Tracé d'une ellipse par la méthode du cercle oblique
 

Soient AB et DE les axes conjugués donnés. Deux axes sont dits conjugués lorsque chacun d'eux est parallèle aux tangentes aux extrémités de l'autre.

Du centre C, tracez un cercle de rayon CA; tracez le diamètre G F perpendiculaire à AB; enfin, joignez D et F ainsi que G et E.

Supposons que l'ellipse désirée est la projection oblique du cercle qui vient d'être tracé; les points D et E de l'ellipse sont, respectivement, les projections obliques des points F et G du cercle; de la même façon, les points P et Q sont les projections obliques des points R et S, respectivement.

On détermine les points P et Q en choisissant un point X quelconque sur AB et en traçant les lignes RS et PQ, ainsi que RP et SQ, respectivement parallèles à GF et à DE, et à FD et GE.

On doit déterminer au moins cinq points dans chaque quadrant (plus de cinq dans le cas de grandes ellipses) en prenant des points additionnels sur le grand axe et en procédant tel qu'expliqué pour le point X. Esquissez légèrement l'ellipse à l'aide des points obtenus, puis mettez-la au net à l'aide du pistolet.

Construction d'une ellipse par la méthode du parallélogramme (Figures 4.52.a et 4.52.b).

Figure 4.52
Tracé d'une ellipse par la méthode du parallélogramme

La méthode du parallélogramme s'applique quand le grand axe et le petit axe sont donnés, ou quand les axes conjugués sont donnés.

Tracez un rectangle ou un parallélogramme dont les côtés sont respectivement parallèles aux axes AB et CD.

Divisez AO et AJ en un même nombre de parties égales et tracez légèrement des lignes de construction par ces points, comme l'illustre la figure.

Les intersections des lignes de même numéro sont des points de l'ellipse.

Déterminez, de la même façon, des points dans les trois autres quadrants. Esquissez légèrement l'ellipse à l'aide des points ainsi obtenus, puis mettez-la au net à l'aide du pistolet.

Détermination des axes principaux d'une ellipse à partir des axes conjugués.

Figure 4.53
Détermination des axes d'une ellipse

Figure 4.53.a. Soient les axes conjugués AB et CD ainsi que l'ellipse correspondante.

Du point 0, intersection des axes conjugués (centre de l'ellipse), et à partir d'un rayon commode quelconque, tracez un cercle qui coupe l'ellipse en quatre points.

Reliez ces points par des droites, comme l'illustre la figure; le quadrilatère obtenu est un rectangle dont les côtés sont respectivement parallèles aux grand et petit axes cherchés.

Tracez les axes E F et G H parallèles aux côtés du rectangle Figure 4.53.b.

Soit seulement l'ellipse.

Pour en déterminer le centre, tracez un rectangle ou un parallélogramme circonscrit à l'ellipse; tracez ensuite des diagonales se coupant au centre O, comme la figure l'illustre. Les axes sont ensuite déterminés comme précédemment.

Figure 4.53.C.

Soient les axes conjugués AB et CD. Du point O comme centre et à partir de CD comme diamètre, tracez un cercle.

Par le centre O, tracez la ligne EF perpendiculaire à CD. Des points E et F, où cette perpendiculaire coupe le cercle, tracez les lignes FA et EA pour former l'angle FAE.

Tracez la bissectrice AG de cet angle.

Le grand axe JK est parallèle à cette bissectrice et le petit axe LM lui est perpendiculaire. La longueur AH est la moitié du grand axe et H F, la moitié du petit axe. Les grand et petit axes ainsi obtenus sont respectivement JK et LM.

Tracé d'une tangente à une ellipse.

Construction à l'aide d'un cercle concentrique (Figure 4.54.a).

Pour tracer une tangente en un point quelconque de l'ellipse, tel que le point E, élevez l'ordonnée en E, qui coupe le cercle en V. Tracez une tangente au cercle en V et faites en sorte qu'elle coupe le prolongement du grand axe en G.

La ligne GE est la tangente recherchée.

Pour tracer une tangente à partir d'un point à l'extérieur de l'ellipse, tel que le point P, tracez l'ordonnée PV et prolongez-la.

Tracez DP qui coupe alors le grand axe en X.

Tracez la ligne FX et prolongez-la pour obtenir Q, l'ordonnée passant par P. Alors, d'après la règle des triangles semblables QY/PY = OF/OD.

Tracez la tangente au cercle à partir de Q; déterminez le point de tangence R et tracez l'ordonnée en R qui coupe l'ellipse en Z. La ligne ZP est la tangente cherchée.

Pour vérifier sur le dessin, les tangentes RQ et ZP devraient se couper en un point sur le prolongement du grand axe. Naturellement, on peut tracer, du point P, deux tangentes à l'ellipse.

Construction par les foyers (Figure 4.54.b).

Pour tracer une tangente en un point quelconque de l'ellipse, tel que le point 3, tracez les rayons focaux E3 et F3; prolongez-en un de façon à couper l'angle extérieur en deux parties égales, comme l'illustre la figure. La bissectrice obtenue est la tangente cherchée.

Pour tracer une tangente en un point quelconque extérieur à l'ellipse, tel que le point P, tracez un arc de centre P et de rayon PF. Du point E comme centre et à partir du rayon AB, tracez un arc qui coupe le premier aux points U.

Tracez les lignes EU qui coupent l'ellipse aux points Z. Les lignes PZ sont les tangentes cherchées.

Gabarits à ellipses.

Figure 4.55
Utilisation d'un gabarit à ellipses

Pour économiser du temps en dessinant des ellipses et pour obtenir des tracés uniformes, on utilise souvent des gabarits, ou pochoirs, à ellipses (figure 4.55.a). Ce sont des plaques de plastique percées de trous elliptiques de diverses grandeurs.

Les gabarits à ellipses sont habituellement identifiés par l'angle de l'ellipse, c'est-à-dire l'angle sous lequel un cercle apparaît comme une ellipse. A la figure 4.55.b, l'angle entre la direction d'observation et la vue de côté du plan du cercle est d'environ 49° par conséquent, le gabarit à ellipses de 50° est adéquat.

Les gabarits à ellipses sont généralement disponibles pour des intervalles d'angles de 5°, tels que 15°, 20°, 25°, etc. Sur le gabarit de 50°, on trouve une série d'ellipses de 50° de sorte qu'il suffit de choisir celle qui convient. Si l'angle de l'ellipse est difficile à déterminer, il est toujours possible de chercher celle qui est à peu près aussi longue et aussi « aplatie » que celle qu'il faut dessiner.

Une construction simple pour déterminer l'angle de l'ellipse lorsque les vues ne sont pas disponibles est illustrée à la figure 4.55.C.

En utilisant le centre O, tracez l'arc BF; tracez ensuite CE parallèle au grand axe. Tracez la diagonale OE et mesurez l'angle EOB à l'aide d'un rapporteur. Utilisez le gabarit à ellipses le plus près de cet angle; dans ce cas-ci, on choisit le gabarit de 35°.

Puisqu'il ne serait pas pratique d'avoir des modèles d'ellipses de toutes les grandeurs possibles, il est souvent nécessaire d'utiliser le gabarit à la manière d'un pistolet. Par exemple, si le trou disponible est trop long et trop « aplati » pour l'ellipse à dessiner, on peut tracer une extrémité, puis déplacez légèrement le gabarit pour tracer l'autre extrémité.

De même, on peut tracer un grand côté et déplacer légèrement le gabarit pour tracer l'autre. Dans de tels cas, laissez des espaces entre les quatre portions pour les compléter ensuite à main levée ou à l'aide d'un pistolet.

Lorsque la différence entre le modèle et l'ellipse désirée est faible, il suffit d'incliner légèrement le crayon ou la plume vers l'intérieur ou vers l'extérieur des rives pour combler cette différence.

Pour mettre à l'encre les ellipses, on conseille d'utiliser les plumes Leroy, Rapido-graph, Staedler ou Wrico. La figure 4.55.b illustre comment procéder à l'aide de la plume Leroy.

Placez des équerres sous le gabarit de façon à le soulever du papier et à empêcher l'encre de s'étendre dessous, mieux encore, placez sous le gabarit un modèle d'ellipse plus grand.

Tracé approximatif d'une ellipse

Figure 4.56
Tracé d'une ellipse approchée

Dans plusieurs applications, en particulier lorsqu'une petite ellipse est nécessaire, la méthode du tracé approximatif par des arcs circulaires est tout à fait satisfaisante. Une telle ellipse est, à coup sûr, symétrique et peut être tracée rapidement à l'aide du compas.

Soient les axes AB et CD.

I. Tracez la ligne AC. Du point O comme centre et à partir de OA comme rayon, tracez l'arc AE. De C comme centre et à partir de CE comme rayon, tracez l'arc EF.

IL Tracez la médiatrice G H de la ligne AF; les points d'intersection avec les axes sont les centres des arcs cherchés.

III. Déterminez les centres L et M en posant OL = OK et OM = OJ. A partir des centres K, L, M et J, tracez des arcs circulaires comme l'illustre la figure. Les points de tangence T sont aux jonctions des arcs sur les lignes reliant les centres.