La courbe d'intersection entre un cône de révolution et un plan faisant avec l'axe un angle plus petit que la moitié de l'angle au sommet du cône (figure 4.46.e) s'appelle une hyperbole.

Une hyperbole est aussi générée par un point se déplaçant de telle sorte que la différence entre les distances à deux points fixes, les foyers, est constante et égale à l'axe transverse de l'hyperbole.

Figure 4.60.a.

Figure 4.60
Tracé d'une hyperbole

Soient F et F' les foyers et AB l'axe transverse. La courbe peut être générée par un crayon guidé par une ficelle, comme l'illustre la figure. Attachez une ficelle en F' et en C, sa longueur est donnée par FC — AB. Le point C est choisi d'une façon aléatoire, sa distance de F dépend de la grandeur désirée de la courbe.

Fixez la règle parallèle en F. Si on le fait tourner autour de F en tenant un crayon contre lui et en gardant la ficelle tendue, on peut dessiner l'hyperbole, comme l'illustre la figure.

Figure 4.60.b.

Pour construire la courbe d'une façon géométrique, choisissez un point quelconque X sur le prolongement de l'axe transverse.

En choisissant F et F' comme centres et BX comme rayon, tracez les arcs DE. Des mêmes centres et à partir de AX comme rayon, tracez des arcs qui coupent les précédents aux points Q, R, S et T, qui sont des points de l'hyperbole recherchée.

Déterminez autant de points additionnels qu'il en faut pour dessiner les courbes avec précision, en choisissant d'autres points tels que X sur l'axe transverse et en procédant comme dans le cas du point X.

Pour tracer la tangente à une hyperbole en un point donné P, divisez, en deux parties égales, l'angle entre les rayons focaux FP et F'P. La bissectrice est la tangente désirée.

Pour tracer les asymptotes HCH de l'hyperbole, tracez un cercle de diamètre FF' et élevez des perpendiculaires à l'axe transverse aux points A et B, qui coupent le cercle aux points H. Les lignes HC sont les asymptotes cherchées.

Construction d'une hyperbole équilatérale (Figure 4.61).

Figure 4.61
Tracé d'une hyperbole équilatérale
 

Les asymptotes OB et OA, faisant un angle droit entre elles, et le point P sur la courbe sont connus.

Figure 4.61.a. Dans le cas d'une hyperbole équilatérale, on peut utiliser les asymptotes comme les axes de référence pour la courbe. Si l'on prolonge une corde de l'hyperbole pour couper les axes, les distances entre les points d'intersection et les axes sont les mêmes.

Par exemple, une corde passant par le point donné P coupe les axes aux points 1 et 2 et les distances P-1 et 2-3 sont égales et le point 3 est un point de l'hyperbole.

De même, une autre corde passant par P fournit les distances P-1 ' et 3'-2' égales, de sorte que le point 3' est aussi un point de l'hyperbole. Il n'est pas nécessaire de tracer toutes les cordes passant par le point donné P mais, dès qu'un nouveau point de la courbe est déterminé, on peut y faire passer des cordes pour obtenir d'autres points. Lorsqu'un nombre suffisant de points a été déterminé pour fournir une courbe précise, on trace l'hyperbole à l'aide du pistolet.

Figure 4.61.b. Dans le cas d'une hyperbole équilatérale, le produit des coordonnées des points est constant.

Par le point donné P, tracez les lignes 1-P-Y et 2-P-Z respectivement parallèles aux axes. De l'origine O des coordonnées, tracez une diagonale quelconque coupant ces deux lignes aux points 3 et X. En ces points, tracez des lignes parallèles aux axes et se coupant en 4, qui est un point de l'hyperbole.

De même, une autre diagonale depuis 0 coupe les deux lignes passant par P aux points 8 et Y; les lignes passant par ces derniers points et parallèles aux axes se coupent en 9, un autre point de la courbe.

Une troisième diagonale fournit, de la même façon, le point 10 sur la courbe, et ainsi de suite.

Déterminez autant de points qu'il en faut pour obtenir une courbe lisse et tracez l'hyperbole à l'aide du pistolet. Il est évident que, d'après les triangles semblables O-X-5 et 0-3-2:

P-1 x P-2 = 4-5 x 4-6

L'hyperbole équilatérale peut représenter, par exemple, la variation de la pression d'un gaz en fonction de son volume, étant donné que la pression varie de façon inverse avec le volume; autrement dit, le produit de la pression par le volume est constant.