Circuits simples à courant alternatif

Électrotechnique

Dans cette section, nous décrivons les propriétés des ondes sinusoïdales. Nous établissons la forme d'onde du courant résultant de l'application d'une tension sinusoïdale à un circuit résistif, un circuit capacitif et un circuit inductif. Cela nous amène aux notions de réactance inductive, réactance capacitive, puissance active et puissance réactive.

Cette section introduit donc les principes fondamentaux des circuits à courant alternatif.

Forme d'onde sinusoïdale

Lors de l'étude de l'alternateur élémentaire (section Tension induite dans un conducteur) nous avons vu qu'un aimant permanent tournant à une vitesse constante à l'intérieur d'un cadre produit une tension alternative aux bornes de ce cadre.

On a aussi montré qu'il est possible de changer la forme d'onde de la tension en modifiant la forme des pôles de l'aimant. Il est donc possible d'obtenir une très grande variété de formes d'onde en changeant les pôles de l'alternateur.

Cependant, il existe une forme d'onde qui nous intéresse particulièrement parce qu'elle est la plus simple des courbes périodiques: c'est la courbe sinusoïdale. On a tracé à la Fig. 22-1 la courbe d'une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 100V.

Figure 22-1 Forme d'onde d'une tension sinusoïdale ayant une valeur crête de 100V

La courbe donne la valeur de la tension induite dans le cadre pour chacune des positions occupées par l'aimant tournant. Ces positions successives sont repérées par l'angle en degrés dont l'aimant a tourné par rapport à sa position originale. On remarque que la tension part d'une valeur nulle et croît rapidement pour atteindre une valeur maximale à un angle de 90°.

Si cette valeur maximale, ou valeur crête, est de 100V, la tension sera de 50V à 30° et 86,6V à 60°. Après avoir atteint la valeur crête, la tension décroît pour passer par les valeurs de 86,6V à 120°, de 50V à 150°, et elle s'annule enfin à 180°.

Puis la polarité de la tension change de signe ; la tension passe successivement par des valeurs négatives: -50V à 210°, -86,6V à 240° et -100V à 270°.

Elle atteint finalement une valeur nulle à 360°, après quoi un nouveau cycle commence et la tension passe par la même suite de valeurs pendant le même temps.

Dans toute onde sinusoïdale les mêmes proportions se retrouvent. Ainsi, une tension dont la valeur crête est de 150V aura une valeur égale à 50 % de 150V à 30° et une valeur égale à 86,6 % de 150V à 60°.

Pourquoi choisit-on une onde sinusoïdale plutôt qu'une onde «simple» comme une onde carrée ou triangulaire?

Voici quelques raisons :

a) Dans les machines à courant alternatif, c'est l'onde sinusoïdale de tension qui occasionne le moins de pertes. Le rendement est donc meilleur.

b) Une onde sinusoïdale de tension ou de courant produit moins d'interférence (bruit) sur les lignes téléphoniques.

c) Dans les circuits à courant alternatif, une tension sinusoïdale produit un courant sinusoïdal et vice-versa. C'est la seule onde possédant cette propriété de se «reproduire».

d) Dans les moteurs électriques, un flux variant sinusoïdalement produit moins de bruit.

De plus, le couple durant le démarrage est plus régulier.

Mathématiquement, une tension sinusoïdale est décrite par l'équation:

e = E_m sin θ    (22-1)

où

e = valeur instantanée de la tension [V]
E_m = valeur crête de la tension [V]
θ = angle de rotation [°]

De la même façon, un courant sinusoïdal est donné par la formule:

i = I_m sin θ    (22-2)

dans laquelle les symboles ont une signification analogue.

Une grandeur sinusoïdale, comme une tension, change le plus rapidement lorsqu'elle passe par zéro. Le taux de variation à cet instant est donné par la formule:

    (22-3)

où

(ΔE/Δt)_max = taux de variation maximal de la tension en volts par seconde [V/s]

f = fréquence de la tension [Hz]

E_m = valeur maximale de la tension [V]

π = 3,1416

Une expression comparable s'applique pour un courant sinusoïdal. Nous donnons à la section ci-dessous, la relation entre l'angle de rotation 0, la fréquence f, et le temps t.

 CIRCUIT RÉSISTIF

Soit un alternateur produisant une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 100V.

Celui-ci alimente une résistance de 10Ω (Fig. 22-2). Supposons que le courant soit positif lorsqu'il circule de la borne a à la borne b dans la résistance.

Figure 22-2 Dans un circuit résistif, le courant est en phase avec la tension

Pour déterminer l'allure de la courbe du courant, appliquons la loi d'Ohm pour quelques valeurs instantanées de la tension.

Tout d'abord, à 0°, 180° et 360°, la tension étant nulle, le courant est également nul.

À l'angle de 30°, Eab = +50V (a est positif par rapport à b) et un courant de 50V/10Ω= 5A circule dans le sens positif.

À l'angle de 60°, Eab = +86,6V, le courant devient 86,6V/10Ω = 8,66A.

On trouve de la même façon la valeur du courant à 90°, 120° et 150°.

À 210°, Eab =-50V (a est négatif par rapport à b) et le courant doit circuler de b à a dans la résistance, soit dans le sens négatif:

I = -50/10 = -5A.

À 270°, le courant sera: -100V/10Ω =-10A.

Avec ces quelques points, on peut tracer la courbe du courant en fonction de l'angle parcouru. On constate que la forme d'onde obtenue est également sinusoïdale.

En étudiant la courbe de la tension appliquée et celle du courant résultant, on voit que toutes deux passent par une valeur nulle en même temps, et qu'elles atteignent leur valeur maximale positive au même instant. On dit alors que la tension et le courant sont en phase.

Puissance dissipée dans une résistance

Nous avons vu que la puissance P dissipée par effet Joule dans une résistance est donnée par le produit de la tension E à ses bornes et du courant I qui la traverse.

On peut appliquer la même formule au circuit de la Fig. 22-2: en multipliant à chaque instant les valeurs de la tension par les valeurs correspondantes du courant, on peut tracer la courbe de variation de la puissance P (Fig. 22-3).

Figure 22-3 La puissance dissipée dans une résistance par un courant alternatif varie périodiquement. La valeur moyenne de cette puissance est égale à la moitié de la valeur maximale

À 0°, la tension et le courant sont nuls ; il en est de même pour la puissance.

P = 0 watt

À90°, Eab=+100V, I=+10A

la puissance vaut:

P = (+100V) x (+10A)=+1000W

Si l'on procède ainsi pour différentes valeurs d'angles comprises entre 0 et 180°, on trouve que la puissance part de zéro, atteint une valeur maximale de 1000 W et retombe à zéro (Fig. 22-3). Lorsque la tension et le courant deviennent négatifs, la puissance reste positive car le produit de deux nombres négatifs est positif.

Ainsi, à 210°, Eab = -50V, I = -5A

d'où P = (-50V) x (-5A) = +250 W

On voit que la puissance atteint une valeur maximale de 1000 W, décroît, s'annule, croît de nouveau, et ainsi de suite.

La puissance dissipée dans la résistance est variable, mais elle possède une valeur moyenne de 1000 W/2 = 500 W. On dit que la résistance dissipe une puissance active de 500 W.

Valeur efficace d'une tension ou d'un courant sinusoïdal

Il est opportun d'établir ici l'équivalence entre une tension alternative et une tension continue, du point de vue de leurs effets thermiques. On peut se demander si une tension alternative sinusoïdale de 100V crête correspond à une tension continue de 100V.

 Considérons alors les exemples suivants.

Un alternateur produisant une tension sinusoïdale de 100V crête alimente une résistance de 10Ω (Fig . 22-4).

Figure 22-4 Puissance dissipée lorsqu'une tension sinusoïdale de 100 V crête est appliquée à une résistance de 10Ω

Remplaçons l'alternateur par une source de tension continue dont la valeur est de 100V (Fig . 22-5).

Figure 22-5 Puissance dissipée lorsqu'une tension continue de 100 V est appliquée à la même résistance

Si ces deux tensions étaient équivalentes au point de vue thermique, elles produiraient le même dégagement de chaleur dans la résistance.

Mais on sait que la puissance moyenne dissipée dans le premier cas n'est que de 500 W, alors qu'elle est constante et égale à 1000 W dans le second cas . On doit conclure que les deux tensions ne sont pas équivalentes.