Solutions des circuits à courant alternatif
Il est indispensable de connaître quelques principes de base sur la résolution des circuits à c.a. Ces règles sont faciles à utiliser et elles nous aideront à comprendre le fonctionnement des moteurs, génératrices, lignes de transport et, plus généralement, de tout dispositif fonctionnant à courant alternatif.
Dans cette section, nous utiliserons trois méthodes pour résoudre les circuits parallèles, séries et mixtes :
méthode:
1 : résolution par diagrammes vectoriels tracés à l'échelle. Cette méthode graphique ne nécessite que des calculs simples et permet de visualiser les tensions et les courants.
2: résolution à l'aide de formules mathématiques. Ces formules permettent de résoudre les circuits plus rapidement mais elles sont limitées aux circuits simples.
3: résolution par les techniques de calcul vectoriel présentées à la section Diagrammes vectoriels.
Cette méthode est la plus générale. Elle est plus précise que la méthode graphique et permet de résoudre des circuits complexes. Il existe en effet plusieurs méthodes permettant de résoudre les circuits à c.a., chacune ayant une utilité particulière.
Ainsi, les équations différentielles et les transformées de Laplace servent à analyser les phénomènes transitoires, tandis que le calcul vectoriel utilisant les nombres complexes convient pour résoudre les circuits en régime permanent, lorsque les tensions et les courants sont sinusoïdaux.
Cependant, la méthode graphique (méthode 1), appuyée au besoin par une connaissance de la trigonométrie, suffit pour résoudre la majorité des problèmes quotidiens.
Impédance d'un circuit
Le rapport E/I dans un circuit à courant alternatif s'appelle l'impédance du circuit (Fig. 24-1) et il se mesure en ohms.
Figure 24-1 Définition de l'impédance et de la puissance apparente d'un circuit à courant alternatif
L'impédance (symbole Z) représente la «résistance» que le circuit offre au passage d'un courant alternatif. Par exemple, si la tension efficace aux bornes d'un montage quelconque est de 120 V et le courant de 4A, l'impédance du circuit est :
Z = E/I = 120V/4A = 30Ω
Le terme «impédance» englobe toutes les sortes d'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif y compris la résistance d'un élément chauffant, la réactance inductive d'une bobine, la réactance capacitive d'un condensateur et toute combinaison imaginable de ces trois composants fondamentaux.
Puissance apparente
La puissance apparente S d'un circuit à courant alternatif est égale au produit de la tension efficace E à ses bornes par le courant efficace I qui circule (Fig. 24-1).
La puissance apparente se mesure en volts-ampères (VA) ; on utilise souvent les multiples de cette unité, soit le kilovolt-ampère (kVA) et le méga voltampère MVA).
La Fig. 24-1 peut représenter un montage complexe contenant des éléments résistifs, inductifs et capacitifs. Le montage peut aussi comprendre des sources de tension. La puissance apparente englobe donc toutes les formes de puissances, à savoir les puissances actives (watts), les puissances réactives (vars) et toute combinaison possible de ces deux puissances. Cela nous permet d'écrire les formules générales suivantes :
Z = E / I (24-1)
S = E / I (24-2)
où
Z = impédance du circuit, en
ohms [Ω]
S = puissance apparente, en volts-ampères [VA]
E = tension
sinusoïdale efficace, en volts [V]
I = courant sinusoïdal efficace, en
ampères [A]
SOLUTION DES CIRCUITS PAR LA MÉTHODE GRAPHIQUE (Méthode 1)
Les exemples numériques suivants indiquent comment résoudre les circuits parallèle, série et mixte. Les vecteurs y sont tracés à l'échelle, ce qui permet de mesurer leurs amplitudes avec une règle, et leurs angles de phase avec un rapporteur.
Solution graphique d'un circuit parallèle
L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit parallèle.
Exemple 24-1
Le circuit de la Fig. 24-2a comprend une résistance de 30Ω et une réactance capacitive de 16Ω raccordées en parallèle sur une source de 240 V.
Figure 24-2
a. Circuit parallèle
b. Résolution du circuit (voir exemple 24-1)
Trouver:
a) le courant I et son déphasage par rapport à la tension E
b) l'impédance du circuit
c) les puissances active. réactive et apparente du circuit
Solution
a) Pour trouver la valeur du courant I, on doit d'abord calculer la valeur de I1 dans la résistance de même que 12 dans la réactance capacitive, et ensuite tracer un diagramme vectoriel.
1. La tension étant commune aux deux éléments, on la choisit comme vecteur de référence. Traçons le vecteur dans le sens horizontal.
2. I1 = 240 V/30Ω = 8A. L'élément de 30Ω étant résistif, le courant I1 est en phase avec la tension.
3. 12 = 240 V/16Ω = 15A. L'élément de 16Ω étant capacitif, ce courant est déphasé de 90° en avance sur la tension.
4. Le courant I est égal à la somme vectorielle
I=I1+I2
D'après le diagramme vectoriel, tracé à l'échelle (Fig. 24-2b), on trouve que I possède une valeur de 17A efficace. Un rapporteur indique qu'il est déphasé de 62° en avant de la tension.
b) L'impédance du circuit est:
Z= E/ I= 240V / 17A = 14,1Ω
Noter que l'impédance est une propriété d'un circuit et qu'elle est indépendante de la valeur de la tension appliquée. Cependant, l'impédance dépend de la fréquence de la source, car la valeur des réactances inductives et capacitives varie avec la fréquence.
c) L'élément résistif de 30Ω consomme une puissance active:
P= EI1 =240V x 8A = 1920W
L'élément capacitif de 60 S2 représente une puissance réactive:
Q = EI2 = 240V x 15A = 3600var
La puissance apparente du circuit est:
S = EI = 240 x 17 =4080 VA
On observe que la puissance apparente n'est pas égale à la somme arithmétique des puissances active et réactive:
4080 1920 + 3600.
Solution graphique d'un circuit série
L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit série.
Exemple 24-2
Soit un circuit (Fig. 24-3) formé d'une résistance de 12Ω en série avec une réactance inductive de 5Ω, et parcouru par un courant I de 10A.
Figure 24-3 a. Circuit série; b. Résolution du circuit (voir exemple 24-2).
Trouver:
a) la tension E et son déphasage par rapport au courant I
b) l'impédance du circuit
c) les puissances active, réactive et apparente du circuit Solution
a) Puisque le courant I est le même pour les deux éléments considérés, prenons-le comme vecteur de référence.
On le trace horizontalement vers la droite. La tension aux bornes de la résistance est :
ER = 10A x 12Ω = 120V
Puisque le courant dans une résistance est en phase avec la tension, nous traçons sur le diagramme un vecteur ER dans la même direction que le vecteur I; la longueur de ce vecteur, mesurée à l'échelle, correspond à 120V Le courant de 10A traversant une réactance inductive de 5Ω produit une tension EL de:
EL =10A x 5Ω = 50V
Puisque, dans une inductance, le courant I doit être déphasé de 90° en arrière de la tension, il faut tracer le vecteur EL dans une direction perpendiculaire à celle du vecteur I et de façon à ce que EL soit décalé de 90° en avant de I (Fig. 24-3b). La tension totale E aux bornes du circuit est donnée par la somme vectorielle de ER et EL.
En la mesurant à l'échelle, on trouve E= 130V.
De plus, un rapporteur indique que E est en avance sur I de 22,6°.
Noter que la tension totale aux bornes du circuit n'est pas égale à (120 + 50) = 170 V, car les tensions ER et EL ne sont pas en phase.
b) L'impédance du circuit est Z = E/I = 130V/10A = 13Ω
c) La puissance apparente du circuit est:
S = EI = 130V x 10 A= 1300 VA
La puissance active est
P = ERI = 120V x 10A = 1200W
La puissance réactive est:
Q= ELI = 50V x 10A = +500 var
Solution graphique d'un circuit mixte
La solution générale des circuits mixtes (série-parallèle) exige l'utilisation du calcul vectoriel. On peut, cependant, utiliser une méthode graphique dans plusieurs cas.
En voici un exemple.
Exemple 24-3
Déterminer l'impédance entre les points a et h du circuit mixte de la Fig. 24-4.
Figure 24-4 a Circuit mixte; b) Résolution du circuit mixte (voir exemple 24-3)
Solution
Puisque l'mpétance d'un circuit n'est pas affectée par la tension qu'on lui applique, supposons que la tenon E1 soit de 12 V et choisissons cette tension comme secteur de référence. On le trace horizontalement vers la droite.
Un courant IR a donc une valeur de :
IR = 12V / 3Ω = 4A
et son vecteur est en phase avec E1.
Le courant IL a une valeur de:
IL = 12V / 4Ω = 3A
et son vecteur est 90° en arrière de E1. Le courant le dans le condensateur est égal à la somme vectorielle de IR et de IL et sa valeur (mesurée à l'échelle) est de 5A.
La tension E2 aux bornes du condensateur est donc :
E2 = IcXc = 5A x 2Ω = 10V
Le vecteur E2 doit être tracé 90° en arrière de le car le courant dans un condensateur est toujours 90° en avant de la tension. La tension E (entre les bornes a et b) est donnée par la somme vectorielle de E1 et de E2, ce qui donne 10V (mesurée à l'échelle).
L'impédance Zab du circuit est donc:
Zab = E / Ic = 10V / 5A = 2Ω
À l'aide d'un rapporteur, on trouve que le courant le est déphasé de 16° en avant de la tension E.
SOLUTION DES CIRCUITS SIMPLES À L'AIDE DE FORMULES (Méthode 2)
Formules donnant l'impédance de deux éléments en série
On a souvent besoin de calculer l'impédance d'un circuit composé de deux éléments en série. Lorsque les éléments sont de même nature, on additionne simplement leurs impédances, mais quand ils sont différents on est obligé d'utiliser des méthodes vectorielles pour obtenir l'impédance totale.
Il est alors très utile d'avoir recours à une formule permettant de calculer l'impédance directement. Il existe trois possibilités de raccordement de deux éléments différents en série (Fig. 24-5, 24-6 et 24-7).
Considérons le circuit de la Fig. 24-5 : il comprend une résistance R et une réactance inductive XL. Nous démontrons ci-après que la valeur de l'impédance Zab entre les bornes a et b est donnée par la formule 24-3, soit
Supposons qu'un courant de I ampères traverse ce circuit. Il produit une tension ER aux bornes de la résistance et une tension EL aux bornes de l'inductance.
Les vecteurs de ces deux tensions sont tracés à partir du vecteur du courant I qui constitue le vecteur de référence (voir le diagramme vectoriel de la Fig. 24-5).
La valeur Eab de la somme vectorielle de ER et de EL est évidemment égale à:
Mais
donc
Par définition, l'impédance d'un circuit est le rapport entre la tension à ses bornes et le courant qui le parcourt; donc
On procède de la même façon pour résoudre les circuits des Fig. 24-6 et 24-7.
On découvre alors les expressions suivantes:
Le troisième circuit, composé de XL et Xc, demande peut-être une explication supplémentaire. Les vecteurs de tension sont tracés avec Ec (tension sur le condensateur) plus grande que EL, ce qui implique que Xc est plus élevée que XL.
Toutefois, il aurait pu arriver que XL excède Xc et, dans ce cas, le vecteur Eab aurait été en avant de I au lieu d'être en arrière, comme indiqué sur la figure. L'impédance du circuit aurait donc été égale à (XL - Xc) ohms au lieu de (Xc - XL) ohms.
Exemple 24-4
Soit le circuit de la fig. 24-8.
Figure 24-8
a. Circuit série (voir exemple 24-4); b. Résolution du circuit
Trouver :
a) le courant I
b) les tensions ER et EL
c) la puissance apparente et la puissance active
d) le déphasage entre le courant I et la tension de la source
Solution
Trouvons d'abord l'impédance du circuit entre les bornes a et b.
D'après la formule 24-3 :
a) Courant I = E / Z = 100V / 50Ω = 2A
b) Tension EL = XLI = 40Ω x 2A = 80V
Tension ER = RI= 30Ω x 2A = 60V
c) Puissance apparente EI = 100V x 2A = 200 VA
Puissance active ERI = 60V X 2A = 120 W
d) En traçant le diagramme vectoriel (Fig. 24-8b), on trouve, avec un rapporteur, que le courant I est déphasé de 53° en arrière de la tension E.
Formules donnant l'impédance de deux éléments en parallèle
L'impédance équivalente à deux impédances Z1 et Z2 en parallèle (Fig. 24-9) est donnée par la formule suivante:
Figure 24-9 Impédances en parallèle
(24-6)
où
Z = impédance
parallèle, en ohms [Ω]
Z1 = impédance de Z1 , en ohms [Ω]
Z2 = impédance de Z2 , en ohms [Ω]
Zs = impédance du circuit composé de Z1 et Z2 en série, en ohms [Ω]
Cette formule reste valable même si les impédances Z1 et Z2 sont constituées de groupements mixtes.
Elle nous permet d'établir l'impédance des circuits parallèles des Fig. 24-10, 24-11 et 24-12.
Ainsi, pour la Fig. 24-10:
ZL =XL Z2 =R
et l'impédance de Zi et Z2 en serte est donnée par l'équation 24-3.
Donc
On procède de la même manière pour déterminer l'impédance des circuits des Fig. 24-11 et 24-12. On obtient alors les expressions suivantes :
Exemple 24-5
Calculer l'impédance du circuit montré à la Fig. 24-13.
Figure 24-13 Voir exemple 24-5
Solution Ce circuit est semblable à celui de la Fig. 24-11.
L'impédance est donc:
ce qui correspond exactement à la valeur que nous avons trouvée graphiquement à la section plus haut.
Circuits résonnants, fréquence de résonance