Solutions des circuits à courant alternatif

Électrotechnique

Il est indispensable de connaître quelques principes de base sur la résolution des circuits à c.a. Ces règles sont faciles à utiliser et elles nous aideront à comprendre le fonctionnement des moteurs, génératrices, lignes de transport et, plus généralement, de tout dispositif fonctionnant à courant alternatif.

Dans cette section, nous utiliserons trois méthodes pour résoudre les circuits parallèles, séries et mixtes :

méthode:

1 : résolution par diagrammes vectoriels tracés à l'échelle. Cette méthode graphique ne nécessite que des calculs simples et permet de visualiser les tensions et les courants.

2: résolution à l'aide de formules mathématiques. Ces formules permettent de résoudre les circuits plus rapidement mais elles sont limitées aux circuits simples.

3: résolution par les techniques de calcul vectoriel présentées à la section Diagrammes vectoriels.

Cette méthode est la plus générale. Elle est plus précise que la méthode graphique et permet de résoudre des circuits complexes. Il existe en effet plusieurs méthodes permettant de résoudre les circuits à c.a., chacune ayant une utilité particulière.

Ainsi, les équations différentielles et les transformées de Laplace servent à analyser les phénomènes transitoires, tandis que le calcul vectoriel utilisant les nombres complexes convient pour résoudre les circuits en régime permanent, lorsque les tensions et les courants sont sinusoïdaux.

Cependant, la méthode graphique (méthode 1), appuyée au besoin par une connaissance de la trigonométrie, suffit pour résoudre la majorité des problèmes quotidiens.

Impédance d'un circuit

Le rapport E/I dans un circuit à courant alternatif s'appelle l'impédance du circuit (Fig. 24-1) et il se mesure en ohms.

Figure 24-1 Définition de l'impédance et de la puissance apparente d'un circuit à courant alternatif

L'impédance (symbole Z) représente la «résistance» que le circuit offre au passage d'un courant alternatif. Par exemple, si la tension efficace aux bornes d'un montage quelconque est de 120 V et le courant de 4A, l'impédance du circuit est :

Z = E/I = 120V/4A = 30Ω

Le terme «impédance» englobe toutes les sortes d'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif y compris la résistance d'un élément chauffant, la réactance inductive d'une bobine, la réactance capacitive d'un condensateur et toute combinaison imaginable de ces trois composants fondamentaux.

Puissance apparente

La puissance apparente S d'un circuit à courant alternatif est égale au produit de la tension efficace E à ses bornes par le courant efficace I qui circule (Fig. 24-1).

La puissance apparente se mesure en volts-ampères (VA) ; on utilise souvent les multiples de cette unité, soit le kilovolt-ampère (kVA) et le méga voltampère MVA).

La Fig. 24-1 peut représenter un montage complexe contenant des éléments résistifs, inductifs et capacitifs. Le montage peut aussi comprendre des sources de tension. La puissance apparente englobe donc toutes les formes de puissances, à savoir les puissances actives (watts), les puissances réactives (vars) et toute combinaison possible de ces deux puissances. Cela nous permet d'écrire les formules générales suivantes :

Z = E / I    (24-1)

S =  E / I    (24-2)

où

Z = impédance du circuit, en ohms [Ω]
S = puissance apparente, en volts-ampères [VA]
E = tension sinusoïdale efficace, en volts [V]
I = courant sinusoïdal efficace, en ampères [A]

SOLUTION DES CIRCUITS PAR LA MÉTHODE GRAPHIQUE (Méthode 1)

Les exemples numériques suivants indiquent comment résoudre les circuits parallèle, série et mixte. Les vecteurs y sont tracés à l'échelle, ce qui permet de mesurer leurs amplitudes avec une règle, et leurs angles de phase avec un rapporteur.

Solution graphique d'un circuit parallèle

L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit parallèle.

Exemple 24-1

Le circuit de la Fig. 24-2a comprend une résistance de 30Ω et une réactance capacitive de 16Ω raccordées en parallèle sur une source de 240 V.

Figure 24-2

a. Circuit parallèle

b. Résolution du circuit (voir exemple 24-1)

Trouver:

a) le courant I et son déphasage par rapport à la tension E

b) l'impédance du circuit

c) les puissances active. réactive et apparente du circuit

Solution

a) Pour trouver la valeur du courant I, on doit d'abord calculer la valeur de I₁ dans la résistance de même que 1₂ dans la réactance capacitive, et ensuite tracer un diagramme vectoriel.

1. La tension étant commune aux deux éléments, on la choisit comme vecteur de référence. Traçons le vecteur dans le sens horizontal.

2. I₁ = 240 V/30Ω = 8A. L'élément de 30Ω étant résistif, le courant I₁ est en phase avec la tension.

3. 1₂ = 240 V/16Ω = 15A. L'élément de 16Ω étant capacitif, ce courant est déphasé de 90° en avance sur la tension.

4. Le courant I est égal à la somme vectorielle

I=I₁+I₂

D'après le diagramme vectoriel, tracé à l'échelle (Fig. 24-2b), on trouve que I possède une valeur de 17A efficace. Un rapporteur indique qu'il est déphasé de 62° en avant de la tension.

b) L'impédance du circuit est:

Z=  E/ I= 240V / 17A = 14,1Ω

Noter que l'impédance est une propriété d'un circuit et qu'elle est indépendante de la valeur de la tension appliquée. Cependant, l'impédance dépend de la fréquence de la source, car la valeur des réactances inductives et capacitives varie avec la fréquence.

c) L'élément résistif de 30Ω consomme une puissance active:

P= EI₁ =240V x 8A = 1920W

L'élément capacitif de 60 S2 représente une puissance réactive:

Q = EI₂ = 240V x 15A = 3600var

La puissance apparente du circuit est:

S = EI = 240 x 17 =4080 VA

On observe que la puissance apparente n'est pas égale à la somme arithmétique des puissances active et réactive:

4080 1920 + 3600.

Solution graphique d'un circuit série

L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit série.

Exemple 24-2

Soit un circuit (Fig. 24-3) formé d'une résistance de 12Ω en série avec une réactance inductive de 5Ω, et parcouru par un courant I de 10A.

Figure 24-3 a. Circuit série; b. Résolution du circuit (voir exemple 24-2).

Trouver:

a) la tension E et son déphasage par rapport au courant I

b) l'impédance du circuit

c) les puissances active, réactive et apparente du circuit Solution

a) Puisque le courant I est le même pour les deux éléments considérés, prenons-le comme vecteur de référence.

On le trace horizontalement vers la droite. La tension aux bornes de la résistance est :

ER = 10A x 12Ω = 120V

Puisque le courant dans une résistance est en phase avec la tension, nous traçons sur le diagramme un vecteur E_R dans la même direction que le vecteur I; la longueur de ce vecteur, mesurée à l'échelle, correspond à 120V Le courant de 10A traversant une réactance inductive de 5Ω produit une tension E_L de:

E_L =10A x 5Ω = 50V

Puisque, dans une inductance, le courant I doit être déphasé de 90° en arrière de la tension, il faut tracer le vecteur E_L dans une direction perpendiculaire à celle du vecteur I et de façon à ce que E_L soit décalé de 90° en avant de I (Fig. 24-3b). La tension totale E aux bornes du circuit est donnée par la somme vectorielle de E_R et E_L.

En la mesurant à l'échelle, on trouve E= 130V.

De plus, un rapporteur indique que E est en avance sur I de 22,6°. 

Noter que la tension totale aux bornes du circuit n'est pas égale à (120 + 50) = 170 V, car les tensions E_R et E_L ne sont pas en phase.

b) L'impédance du circuit est Z = E/I = 130V/10A = 13Ω

c) La puissance apparente du circuit est:

S = EI = 130V x 10 A= 1300 VA

La puissance active est

P = E_RI = 120V x 10A = 1200W

La puissance réactive est:

Q= E_LI = 50V x 10A = +500 var

Solution graphique d'un circuit mixte

La solution générale des circuits mixtes (série-parallèle) exige l'utilisation du calcul vectoriel. On peut, cependant, utiliser une méthode graphique dans plusieurs cas.

En voici un exemple.

Exemple 24-3

Déterminer l'impédance entre les points a et h du circuit mixte de la Fig. 24-4.

Figure 24-4 a Circuit mixte; b) Résolution du circuit mixte (voir exemple 24-3)

Solution

Puisque l'mpétance d'un circuit n'est pas affectée par la tension qu'on lui applique, supposons que la tenon E₁ soit de 12 V et choisissons cette tension comme secteur de référence. On le trace horizontalement vers la droite.

Un courant IR a donc une valeur de :

I_R = 12V / 3Ω = 4A

et son vecteur est en phase avec E₁.

Le courant I_L a une valeur de:

I_L = 12V / 4Ω = 3A

et son vecteur est 90° en arrière de E₁. Le courant le dans le condensateur est égal à la somme vectorielle de I_R et de I_L et sa valeur (mesurée à l'échelle) est de 5A.

La tension E₂ aux bornes du condensateur est donc :

E₂ = I_cX_c = 5A x 2Ω = 10V

Le vecteur E₂ doit être tracé 90° en arrière de le car le courant dans un condensateur est toujours 90° en avant de la tension. La tension E (entre les bornes a et b) est donnée par la somme vectorielle de E₁ et de E₂, ce qui donne 10V (mesurée à l'échelle).

 L'impédance Z_ab du circuit est donc:

 Z_ab  = E / I_{c =} 10V / 5A = 2Ω

À l'aide d'un rapporteur, on trouve que le courant le est déphasé de 16° en avant de la tension E.

 SOLUTION DES CIRCUITS SIMPLES À L'AIDE DE FORMULES (Méthode 2)

Formules donnant l'impédance de deux éléments en série

On a souvent besoin de calculer l'impédance d'un circuit composé de deux éléments en série. Lorsque les éléments sont de même nature, on additionne simplement leurs impédances, mais quand ils sont différents on est obligé d'utiliser des méthodes vectorielles pour obtenir l'impédance totale.

Il est alors très utile d'avoir recours à une formule permettant de calculer l'impédance directement. Il existe trois possibilités de raccordement de deux éléments différents en série (Fig. 24-5, 24-6 et 24-7).

Considérons le circuit de la Fig. 24-5 : il comprend une résistance R et une réactance inductive X_L. Nous démontrons ci-après que la valeur de l'impédance Z_ab entre les bornes a et b est donnée par la formule 24-3, soit