Étude du développement d'une fonction

Pour examiner le développement de la fonction y = f(x) et pour tracer le graphique il est préférable de procéder selon le schéma suivant :

Détermination de l'ensemble de définition de la fonction (ou champ de définition ou ensemble d'existence), c'est à dire l'ensemble des valeurs réelles que la variable indépendante x peut prendre.
Dans l'absence d'autres limitations une fonction analytique y = f(x) est définie sur tout l'axe réel, sauf dans les cas suivants :

y = f(x) = P(x) / Q(x)   où Q(x) ≠ 0
y = f(x) =   où R(x) ≥ 0 et si n pair
y = f(x) = ln A(x)   où A(x) > 0

P(x), Q(x) et R(x) sont des expressions analytiques dépendantes de x.

 Détermination des éventuelles symétries :
 

  • y = f(x) est symétrique par rapport à l'axe y si f(x) = f(-x)
     
  • y = f(x) est symétrique par rapport à l'axe x si f(x) = -f(x)
     
  • y = f(x) est symétrique par rapport à l'origine si f(x) = -f(-x)

    Détermination des éventuelles périodicités :
    Une fonction est périodique si :
    f(x) = f(x + kp) où p est la période et k un nombre entier relatif.

    Exemples :
    sin x = sin (x + 2k
    π)
    tan x = tan (x + kπ)

    Recherche des intersections avec les axes de coordonnées :
    On détermine les intersections avec l'axe des x en résolvant l'équation :
    f(x) = 0

    On détermine les intersections avec l'axe des y en résolvant l'équation :
    y = f(0)

     Détermination des limites de la fonction :
    Ces limites sont recherchées quand x → +
    et x - si l'ensemble de définition comprend les intervalles [a; +[ et ]-; b]
    Quand x
    +∞ si la fonction est définie sur [a; +[.
    Quand x
    - si la fonction est définie sur ]-; b].
    La limite est recherchée aussi pour les points d'accumulation de l'ensemble d'existence où la fonction n'est pas définie. A cette occasion il faut trouver, selon les cas, la limite droite et la limite gauche ou seulement la limite droite ou la limite gauche.

    Recherche des asymptotes :

    a) Asymptotes verticales :
    s'il résulte lim f(x) =
    alors x = c est l'asymptote verticale
                   x
    c

    b) Asymptotes horizontales :
    s'il résulte lim f(x) = k alors y = k est l'asymptote horizontale
                   x

    c) Asymptotes obliques :
    s'il résulte lim f(x) =

                   x

    l'asymptote oblique est définie par la droite y = mx + q si les limites suivantes existent et sont finies :
    m = lim f(x) / x    et    q = lim [f(x) - mx]
           x →
                          x

     Détermination des maxima et minima relatifs et de points d'inflexions horizontaux.
    Les abscisses des points de maximum et minimum relatifs et des points d'inflexions horizontaux, dans les points où la fonction est dérivable, sont déduites en résolvant l'équation :

    (1) f '(x) = 0

    Si x0 est une solution de (1) et s'il s'ensuit que :
     

  • f ''(x0) < 0 alors x0 est un point de maximum relatif
     
  • f ''(x0) > 0 alors x0 est un point de minimum relatif
     
  • f ''(x0) = 0 alors on calcule f '''(x0)
  • si f '''(x0) ≠ 0 alors x0 est un point d'inflexion horizontal
     
  • si f '''(x0) = 0 alors on calcule les dérivées successives jusqu'à trouver celle qui en x0 ne s'annule pas.
     
  • Si cette dernière est d'ordre pair on a un maximum relatif en x0 quand cette dérivée est négative ou bien un minimum relatif si elle est positive.
     
  • Si au contraire elle est d'ordre impair on a en x0 un point d'inflexion horizontal.
  • Autrement, la détermination des maxima et minima relatifs et des points d'inflexions horizontaux peut être faite en étudiant le signe de f '(x) dans un voisinage suffisamment petit des points qui sont solutions de (1) :

    Si x0 est une solution de (1) et s'il s'ensuit que :
     

  • f '(x0) > 0 à gauche de x0 et f '(x0) < 0 à droite de x0 alors x0 est un point de maximum relatif.
     
  • f '(x0) < 0 à gauche de x0 et f '(x0) > 0 à droite de x0 alors x0 est un point de minimum relatif.
     
  • f '(x) > 0 (ou < 0) dans le voisinage de x0alors x0 est un point d'inflexion horizontal

    Détermination de la concavité, de la convexité et des points d'inflexion qui ne sont pas horizontaux de la courbe.
    La courbe a la concavité ou la convexité vers la direction positive de l'axe y selon que f ''(x) > 0 ou f ''(x) < 0.
    Il s'ensuit que si f ''(x) = 0 et f '''(x) ≠ 0 on a un point d'inflexion.

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