Intégrales définies généralisées
On appelle intégrales généralisées les intégrales définies
avec les limites d'intégration a ou b infinies et les intégrales définies
de fonctions discontinues.
Pour calculer les intégrales généralisées, on utilise le passage à la limite
selon les définitions suivantes :
| ∫ | ∞ | f(x) dx = | lim b → ∞ |
∫ | b | f(x) dx |
| a | a |
| ∫ | b | f(x) dx = | lim a → -∞ |
∫ | b | f(x) dx |
| -∞ | a |
| ∫ | +∞ | f(x) dx = | lim lim a → -∞ b → +∞ |
∫ | b | f(x) dx |
| -∞ | a |
Si f(x) est discontinue en b :
| ∫ | b | f(x) dx = | lim ε → 0 |
∫ | b-ε | f(x) dx (ε > 0) |
| a | a |
Si f(x) est discontinue en a :
| ∫ | b | f(x) dx = | lim ε → 0 |
∫ | b | f(x) dx (ε > 0) |
| a | a+ε |
Si f(x) est continue dans l'intervalle [a, b] sauf pour le point c interne à [a, b] :
| ∫ | b | f(x) dx = | lim ε1 → 0 |
∫ | c-ε1 | f(x) dx + lim ε2 → 0 |
∫ | b | f(x) dx |
| a | a | c+ε2 |
