Limites de fonctions

1. Définition :

On dit que la fonction f(x), définie dans un ensemble E, a pour limite l quand x tend vers c (point d'accumulation de E), et on écrit :

lim f(x) = l
x → c

quand, en correspondance d'un nombre ε > 0, il est possible de déterminer un voisinage complet I de c tel que, pour toutes les valeurs x € I et E et différentes de c, on obtienne :
| f(x) - l | < ε

2. Limite droite et gauche :

Si I est un voisinage droit de c, on appelle limite droite de f(x) :

lim f(x) = l₁
x → c⁺
x > c


Si I est un voisinage gauche de c, on appelle limite gauche de f(x) :

lim f(x) = l₂
x → c^-
x < c


Si pour f(x), la limite à droite et la limite à gauche existent et sont égales, alors f(x) a pour limite quand x → c :

lim f(x) = I = I₁ = l₂
x → c

 3. Limite infinie :

On dit que la fonction f(x) a pour limite l'infini quand x → c et on écrit :

lim f(x) = ∞
x → c

quand, en correspondance d'un nombre M > 0, il existe un voisinage complet I de c, tel que, pour toutes les valeurs de x € I et différentes de c, on obtienne :
| f(x) | > M

Si pour x € I et différent de c on obtient toujours :

f(x) > M, on dit que

lim f(x) = +∞ x → c

si au contraire on obtient toujours :

f(x) < -M, on dit que

lim f(x) = -∞ x → c

4. Limite à l'infini :

On dit que la fonction f(x) quand x → ∞ a pour limite l, et on écrit :

lim f(x) = l
x → ∞

quand, en correspondance d'un nombre ε > 0, il existe un nombre N > 0 tel que, pour chaque valeur de |x| > N, on obtienne : | f(x) - l | < ε

Si cette condition est satisfaite seulement quand x > N ou bien seulement quand x < -N, on dit que l est la limite à laquelle tend la fonction quand x → +∞ ou, respectivement, quand x → -∞ :
 

lim f(x) = l x → +∞

lim f(x) = l x → -∞

On dit que la fonction f(x) quand x → ∞ a pour limite l'infini, et on écrit :

lim f(x) = ∞
x → ∞

quand, en correspondance de M > 0, il existe un nombre N > 0 tel que, pour chaque |x| > N, on obtienne : | f(x) | > M.

Au contraire, quand par |x| > N on a toujours f(x) > M ou f(x) < -M, alors on dit qu'il existe respectivement les limites :

lim f(x) = +∞ x → ∞

lim f(x) = -∞ x → ∞

Quand par x > N on a toujours | f(x) | > M ou bien f(x) > M, ou bien f(x) < -M, alors les limites sont respectivement :

lim f(x) = ∞ x → +∞

lim f(x) = +∞ x → +∞

lim f(x) = -∞ x → +∞

Quand par x < -N on a toujours | f(x) | > M ou bien f(x) > M, ou bien f(x) < -M, alors les limites sont respectivement :

lim f(x) = ∞ x → -∞

lim f(x) = +∞ x → -∞

lim f(x) = -∞ x → -∞

 

 

 

 

 

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