1. Addition de matrices :

Condition : l'addition de deux matrices n'est possible que si elles ont la même dimension : le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

La somme de deux matrices est la matrice qui a pour éléments la somme des éléments des deux matrices.

Exemple :

||	1	5	-2	||	+	||	0	2	1	||	=	||	1	7	-1	||
||	2	0	1	||		||	1	-3	5	||		||	3	-3	6	||

L'addition matricielle est commutative.
La matrice nulle ( ||0||) est l'élément neutre de l'addition matricielle.

 

2. Soustraction de matrices :

Condition : la soustraction de deux matrices n'est possible que si elles ont la même dimension.

La différence de deux matrices est la matrice qui a pour éléments la différence des éléments des deux matrices.

Exemple :

||	1	5	-2	||	-	||	0	2	1	||	=	||	1	3	-3	||
||	2	0	1	||		||	1	-3	5	||		||	1	3	-4	||

 

3. Transposée d'une matrice :

Soit A une matrice de dimension m lignes et n colonnes.
La matrice A' transposée de A, notée A' = A^T, est la matrice ayant n lignes et m colonnes et dont les éléments a'_ij sont tels que :
a'_ij = a_ji
(ce qui, dit plus simplement, s'énonce : on remplace les lignes par les colonnes...)

Exemple :

A =	||	1	5	-2	||			||	1	2	||
	||	2	0	1	||		AT =	||	5	0	||
								||	-2	1	||

4. Multiplication d'une matrice par un nombre :

Le produit d'une matrice et d'un nombre est la matrice qui a pour éléments le produit des éléments par ce nombre.

Exemple :

5 x	||	1	5	-2	||	=	||	5	25	-10	||
	||	2	0	1	||		||	10	0	5	||

5. Multiplication de matrices :

Condition : le produit de deux matrices n'est possible que si le nombre de lignes de la première est égal au nombre de colonnes de la deuxième et que le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de ligne de la deuxième. Le nombre de lignes du résultat est égal à celui de la première matrice, le nombre de colonnes est égal à celui de la deuxième.

Le produit de deux matrices s'effectue comme suit :

					||	4	-2	||
					||	1	0	||
					||	-1	4	||
||	1	3	2	||	||	1x4 + 3x1 + 2x(-1)	1x(-2) + 3x0 + 2x4	||
||	5	7	4	||	||	5x4 + 7x1 + 4x(-1)	5x(-2) + 7x0 + 4x4	||

Ainsi :

||	1	3	2	||	x	||	4	-2	||	=	||	5	6	||
||	5	7	4	||		||	1	0	||		||	23	6	||
						||	-1	4	||

Exemple :

||	1	5	-2	||	x	||	0	2	||	=	||	1	-11	||
||	2	0	1	||		||	1	-1	||		||	2	8	||
						||	2	4	||

La matrice nulle ( ||0|| ) est l'élément absorbant de la multiplication matricielle.
La matrice unité ( ||1|| : matrice ayant des 1 sur sa diagonale et des 0 partout ailleurs) est l'élément neutre de la multiplication matricielle.
La multiplication matricielle est associative : ABC = (AB)xC.
La multiplication matricielle est distributive : A(B + C) = AB +AC
NB : La multiplication matricielle n'est pas commutative.

 

6. Inversion d'une matrice :

Condition : l'inversion d'une matrice n'est possible que si elle est carrée (nombre de lignes égal au nombre de colonnes) et que son déterminant est non nul.

Soit A une matrice inversible.
On note A^-1 la matrice inverse de A telle que A x A^-1 = ||1|| (matrice unité).
A^-1 se calcule comme suit :

A^-1 = 1/det(A) x A'^T

avec A' la matrice des compléments algébriques de A dont les éléments sont affectés des signes + et - alternativement.

Exemple :

Soit A la matrice :

	||	1	2	-1	||
A =	||	-2	1	1	||
	||	0	3	-3	||

det(A) = -12

	||	+A11	-A12	+A13	||		||	-6	-6	-6	||
A' =	||	-A21	+A22	-A23	||	=	||	3	-3	-3	||
	||	+A31	-A32	+A33	||		||	3	1	5	||

	||	-6	3	3	||
A'T =	||	-6	-3	1	||
	||	-6	-3	5	||

||

-6

3

3

||

||

1/2

-1/4

-1/4

||

A-1 =

-1/12

||

-6

-3

1

||

=

||

1/2

1/4

-1/12

||

||

-6

-3

5

||

||

1/2

1/4

-5/12

||

NB : si A^-1 n'existe pas, A est appelée matrice singulière.

7. Division de matrices :

Condition : la division de deux matrices n'est possible que si la deuxième est inversible (donc carrée) et que la première est carrée.

Si A et B sont deux matrices répondant aux critères ci-dessus, alors A / B = A x (1 / B) = A x B^-1.

 

 

 

 

 

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