Fonctions booléennes et leur représentation

Conception logique numérique

Introduction :

Une fonction booléenne est une expression qui peut être définie comme une combinaison de variables binaires, d'opérateurs binaires, d'opérateurs unaires, de parenthèses et de signe égal.

La variable binaire peut être 1 ou 0, les opérateurs binaires sont AND et OR. L'opérateur unaire ne l'est PAS.

Une fonction booléenne peut être égale à 1 ou 0 selon les valeurs des variables binaires (0 ou 1).

Par exemple :

Étant donné une fonction booléenne F₁ :

F₁ = x'y' + x' + y'z'

Cette fonction booléenne F₁ s'évalue à 1, lorsque x' = 1, y' = 1 et z' = 1, sinon F₁ sera 0.

Considérons de la même manière la fonction booléenne F₂ :

F₂ = x' + y'z + zx

Cette fonction booléenne F₂ est évaluée à 1, lorsque x'= 0, y'= 1, z =1, sinon F₂ sera 0.

Utilisation de la fonction booléenne dans un ordinateur :

une fonction booléenne génère une sortie booléenne pour donner une entrée booléenne basée sur des calculs logiques.

Cette fonction booléenne joue un rôle très crucial dans la conception de puces et de circuits pour ordinateurs.

La fonction booléenne joue également un rôle dans la cryptographie.

Une fonction booléenne peut être représentée des manières suivantes :

Représentation de la table de vérité et diagramme logique pour la fonction booléenne Représentation sous forme canonique de la fonction booléenne Représentation sous forme standard de la fonction booléenne Tous ces éléments seront discutés un par un.

Représentation par table de vérité de la fonction booléenne

Une fonction booléenne peut être représentée à l'aide d'une table de vérité.

Dans une table de vérité pour une variable W donnée, il y a 2" combinaisons possibles.

Supposons qu'il y ait trois variables moyennes « = 3, alors un total de 23 = 8 combinaisons possibles peuvent être affichées à l'aide de la table de vérité.

Supposons que nous ayons des fonctions :

F₁ = x'y' + x' + y'z'

F₂ = x' + y'z + zx

F₃ = x + y'z + z'x'y'

F₄ = xyz + x' y'z + xyz'

La table de vérité pour F₁ ,F₂, F₃ et F₄ est présentée dans le tableau ci-dssous.

Table de vérité pour F₁, F₂, F₃ et F₄

La table de vérité montre que pour la variable 'n', il y a des lignes de 2".

Dans nos fonctions booléennes F₁, F₂, F₃ et F₄, le nombre de variables utilisées est de trois (x, y et z).

Cela signifie n = 3, donc un total de 2³ = 8 combinaisons sont affichées.

Chaque ligne du tableau a la valeur 0 ou 1 pour les fonctions booléennes F₁, F₂, F₃ et F₄ selon la combinaison de variables (x, y et z) et d'opérateurs (AND (.), OR (+ ), NOT (')).

Il est également possible que deux ou plusieurs fonctions booléennes soient identiques.

Cela se produit lorsque la table de vérité de deux ou plusieurs fonctions booléennes a des 1 et des 0 identiques pour chaque combinaison des « n » variables données.

Ceci est affiché pour les fonctions booléennes F₅ et F₆.

F₅ et F₆ sont identiques car ils ont des 1 et des 0 identiques pour 8 combinaisons possibles avec des variables 'n=3' données.

La table de vérité est présentée dans le tableau ci-dessous.

F₅  = xy'z + x'y'z + x'z'

F₆ = y'z + x'z

Table de vérité pour F₅ et F₆

Une fonction booléenne donnée peut également être représentée à l’aide d’un diagramme logique. Le schéma logique est formé à l'aide de portes : AND (ET), OR (OU), NOT (NON).

À l’aide d’un schéma logique, un circuit logique est formé pour diverses fonctions booléennes.

Les schémas logiques pour F₅ et F₆ sont présentés respectivement dans les figures ci-dessous.

Implémentation de F₁ = x'y' + x' + y'z' à l'aide de portes logiques

La fonction booléenne F₆ est une expression simplifiée de la fonction booléenne F₅.

Puisque F₆ est simplifié, il nécessite moins de circuits et de portes, et est plus économique à mettre en œuvre et plus facile à manipuler.

Nous devons donc simplifier une expression de fonction booléenne donnée afin de la mettre en œuvre efficacement à l’aide de portes et de circuits logiques.

Figure : Implémentation de F6 = y'z + x'z à l'aide de portes logiques

Une fonction booléenne donnée peut être simplifiée (minimisée) à l'aide de la règle de priorité des opérateurs.

La priorité des opérateurs pour simplifier une expression de fonction booléenne est la suivante :

1. Parenthèse

2. Opérateur NOT (NON)

3. Opérateur AND (ET)

4. Opérateur OR (OU)

Cela signifie que Parenthèse (), [] a la priorité la plus élevée et que toute expression entre parenthèses doit être simplifiée en premier, puis l'opérateur suivant dans l'ordre de priorité est NOT, puis le suivant est AND et le dernier est l'opérateur OR.

Simplifier une fonction (expression) booléenne par la méthode de simplification algébrique signifie réduire (minimiser) des variables et des termes donnés dans une fonction booléenne particulière à l'aide de théorèmes booléens, de postulats, etc.

La minimisation d'une fonction booléenne conduit à un nombre moindre de portes et d'implémentation de logique de circuits.

Voici quelques exemples de simplification (minimisation) de fonctions booléennes.

Exemple 1 :

Simplifier F₁ = x'y'z' + x'y'z + x'y + xy'

Solution :

F₁ = x'y'z' + x'y'z + x'y + xy' 

-> x'y'z' + x'y'z  = x'y'(z' + z) et

= x'y'(z' + z) + x'y + xy'

= x'y' + x'y + xy' -> Par postulat 5(a)

-> x'y' + x'y  = x' (y' + y)

= x' (y' + y) + xy'

= x' + xy' -> Par postulat 5(a)

= x' + y' -> Par le théorème 5(a)

Ainsi, F₁ est simplifié en x' + y'

Après la simplification, le nombre de variables est réduit, simplifiant ainsi la mise en œuvre logique.

Exemple:

Simplifier F₂ = x'y + y'z + xz

Solution :

F₂  = x'y + y'z (x + x')+ xz

= x'y + xy'z + x'y'z +xz

= x'y + x'y'z + xy'z +xz —> organiser les termes

= x'y + x'y'z + xz (y' + 1)

= x'y + x'y'z + xz -> Par le théorème 2(a)

= x'(y + y'z ) + xz

= x' (y + z)+ xz -> Par le théorème 5 (a)

= x'y + x'z +xz

= x'y + z(x' + x)

= x'y + z —» Par le théorème 2(a)

Ainsi F₂  est simplifié en x'y + z.

Après la simplification, le nombre de variables est réduit, simplifiant ainsi la mise en œuvre de la logique.

Remarque : Avant de passer à d'autres formes de représentation de la fonction booléenne, c'est-à-dire les formes canoniques et la forme standard, le complément d'une fonction booléenne doit être discuté.

Le complément d'une fonction booléenne est obtenu en changeant tous les 0 en 1 et vice versa.

Si une fonction booléenne est F, son complément est F'.

n complément d'une fonction booléenne est obtenu à l'aide du théorème de De-Morgan (théorèmes 8 (a) et 8 (b)).

Le théorème de De-Morgan est bien applicable à deux, trois ou plusieurs variables, donc bien appliqué à toute fonction booléenne avec n'importe quel nombre de variables.

Le théorème de De-Morgan pour 3 variables est :

L.H.S. = (A + B + C)'

R.H.S. = A' . B'. C'

(A + B + C)'= A' . B'. C'

Le théorème de De-Morgan pour 3 variables peut être prouvé comme suit :

En commençant par L.H.S,

L.H.S = (A + B + C)'

Soit B + C = X

Donc, L.H.S = (A + X)'

= A' . X' -> Par théorème 5(a)

= A'. (B . C)' -> Remplacer la valeur arrière de X

= A'. (B' . C') -» Par le théorème 5(a)

= A' . B' . C'  Donc L.H.S = R.H.S

La forme générale de la loi de De-Morgan est la suivante :

(A + B + C + D + ... M)'= A' . B '. C' . D '..... M'

Et (A . B . C . D. ... M)'= A' + B'+ C'+D'+ ... + M'

L'exemple 3 montre comment trouver le complément d'une fonction donnée.

Exemple :

Trouver le complément de F₁ où F₁ = x y'z + x'y'z'

Solution :

F₁ = x y'z + x'y'z'

F₁' = (x y'z + x'y'z')'

Soit xy'z = A et x'y'z' = B, alors F₁' = (A + B)'

= A' . B' -> Par la loi de De-Morgan

Remplacez maintenant les valeurs de A et B, donc F₁= (xy'z)' . ( x'y'z')'

= (x' + y + z') . (x + y + z) —> Par la loi de De-Morgan

Donc, F₁' = (x' + y + z') . (x + y + z)

Représentation sous forme canonique de la fonction booléenne

Une autre façon de représenter la fonction booléenne est la forme canonique.

La forme canonique utilise le double concept de somme de Minterms et de produit de Maxterms pour exprimer une fonction booléenne (expression booléenne.)

Ainsi, avant de passer à la forme canonique, les termes Minterms et Maxterms doivent être compris.

Minterms et Maxterms

Nous savons que toute variable binaire x peut apparaître soit sous sa forme normale, soit sous sa forme complémentaire x'.

De la même manière, deux variables binaires, soit x et y, lorsqu'elles sont combinées à l'aide de l'opérateur binaire AND ('.'), peuvent donner 4 combinaisons possibles.

Ceux-ci sont:

x'y', x'y, xy' et xy.

Ces combinaisons de produits sont appelées Minterms.

En général, un Minterm de 'n' variables est le produit de n littéraux formés à l'aide de différentes combinaisons (complément ou forme normale) de ces n variables.

Ainsi, pour 'n' variables données, il y a 2ⁿ Minterms. Les Minterms sont également appelés produits standard.

De même, les Maxterms sont les « n » variables combinées à l’aide de OR (« + »).

En général, le terme maximum de « n » variables est la somme de « n » littéraux formés en utilisant différentes combinaisons (forme vraie ou complément) de ces « n » variables.

Ainsi, pour 'n' variables données, il y a 2ⁿ Maxterms.

Les Maxterms sont également appelés somme standard.

Le tableau ci-dessous montre les Minterms (m₀- m₇) et les Maxterms (M₀- M₇) pour 3 variables binaires.

Tableau : Minterms (m₀- m₇) et Maxterms (M₀- M₇) pour 3 variables binaires

 D'après le tableau ci-haut, il est clair que chaque Maxterms est le complément de son Minterm correspondant et vice versa.

Une fonction booléenne peut être représentée sous forme canonique comme suit :

1. Somme des Minterms

ou

2. Produit de Maxterms.

Forme canonique en somme de Minterms

Sous la forme somme des Minterms, une fonction booléenne est représentée/dérivée d'une table de vérité donnée en effectuant un OR (Somme) les Minterms pour lesquels il y a « 1 » dans la table de vérité donnée.

Pour exprimer la fonction booléenne en somme de Minterms, elle doit être sous forme de termes AND.

Par exemple :

Étant donné la fonction booléenne

F₁ = x'y'z + xy'z' + x'y'z' + xyz' + xyz

F₂ = xy'z + x'yz

La table de vérité et la table pour F₁ et F₂ sont présentées dans le tableau ci-dessous:

Table de vérité pour F₁ et F₂

F₁ = m₀ + m₁ + m₄ + m₆ +m₇

F₂ = m₃ + m₅ sous la forme somme des termes

Supposons maintenant que nous ayons une fonction booléenne F₁ telle que :

F₁ = x + y'z + z'x

Dans la fonction F, ci-dessus, si l'on voit les termes x, y'z et z'x, il manque une ou plusieurs variables.

Maintenant, si nous voulons exprimer F₁ comme somme de termes, nous devons d’abord faire F₁ tel que tous les termes contiennent toutes les variables.

Cela se fait en effectuant une opération AND avec le terme avec une variable manquante.

Dans notre fonction F₁, les termes x sont d'abord traités par ET avec y+y' puis avec z+z'.

De même, y'z est AND avec x+x' et le terme z'x est AND avec y+y'.

Donc,

x = x(y + y')

= xy + xy'= xy(z + z') +xy'(z + z')

= xyz + xyz' + xy'z +xy'z' y'z

= y 'z(x + x')

= xy'z + x'y'z z'x = z'x(y + y')

= xyz' + xy'z'

Maintenant, mettons de nouvelles valeurs dans F₁

F₁ = x + y'z + z'x

= xyz + xyz' + xy'z + xy'z'+ xy'z + x'y'z + xyz' + xy'z'

= xyz + xyz' + xyz'+xy'z +xy'z +xy'z'+ xy'z'+ x'y'z -> organiser les conditions

= xyz + xyz'+xy'z + xy'z'+ x'y'z -> en utilisant le théorème l(a)

La table de vérité pour F₁ est présentée dans le tableau ci-dessous:

Table de vérité pour F₁

Donc F1 = m₀ + m₁ + m₄ + m₆ +m₇

Au lieu de former une table de vérité puis d'extraire les minterms comme indiqué dans le tableau, nous pouvons directement dériver les minterms pour une fonction particulière à partir du tableau Minterms et Maxterms pour 3 variables binaires discuté précédemment.

Pour un terme donné, sa désignation peut être trouvée dans le tableau Minterms et Maxterms pour 3 variables.

Elle est présentée ci-dessous.

F₁ = x'y'z + xy'z' + xy'z + xyz' + xyz —> terme

= m₀ + m₁ + m₄ + m₆ +m₇ -> Désignation

On peut aussi écrire F₁ comme F₁(x,y,z) = Σ(1,4,5,6,7)

Ici, le symbole Σ signifie ORing des termes et les nombres entre parenthèses sont les termes de cette fonction.

Forme canonique dans le produit de Maxterms

En produit de la forme maxterms, une fonction booléenne est représentée/dérivée d'une table de vérité donnée en combinant ET (en multipliant) les maxterms pour lesquels il y a « 0 » dans la table de vérité donnée.

Pour exprimer la fonction booléenne en tant que produit de maxterm, elle doit être sous forme de termes OU.

Par exemple : étant donné la fonction booléenne

F₁ = (x+y+z). (x+'y +z'). (x+y'+z')

F₂ = (x+y+z'). (x'+y'+z').

La table de vérité pour F₁ et F₂ est présentée dans le tableau ci-dessous:

Table de vérité pour F₁ et F₂

Du tableau nous pouvons conclure pour F₁ et F₂ que :

F₁ = M₀ .  M₃ . M₅

F₂ = M₁ . M₇ sous forme de produit de maxterms

Supposons maintenant que nous ayons une fonction booléenne F₁.

F₁ = x'y + xz

Comme nous pouvons le voir ci-dessus, la fonction booléenne n'est pas sous forme de termes OU et par conséquent cette fonction doit d'abord être introduite sous forme de termes OU afin de l'exprimer sous forme de produit de Maxterms.

Avec l'utilisation de la loi distributive (postulat 4), nous pouvons exprimer la fonction sous la forme d'un terme OU.

Ceci est illustré ci-dessous.

Nous savons que selon la loi distributive, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) et a + (b . c)

= (a + b) . (a + c)

Donc, F₁ = x'y + xz = (x'y + x) . (x'y + z)

En appliquant à nouveau la loi distributive aux termes (x'y + x) et (x'y + z), nous obtenons,

(1)

x'y + x = x + x'y = (x + x') . (x + y)

 x'y + z = z + x'y = (z + x') . (z + y )

Donc,

(2)

F₁ = (x'y + x) . (x'y + z)

= (x + x') . (x + y) .  (z + x') . (z + y) -> remplacement des valeurs de (1) et (2)

Nous pouvons maintenant voir que dans la fonction F₁ il manque une variable à chaque terme OR.

Afin d'exprimer la fonction F₁ comme produit de maxterms, chaque terme OR doit avoir les trois variables.

Cela peut être fait en effectuant un OU entre les termes avec une variable manquante.

Dans notre fonction,

F₁= (x + x') . (x + y) . (z + x') . (z + y)

= (x + x') . (x + y) . (x' +z) . ( y + z) —> organiser les termes

= (x + y) . (x' +z) . ( y + z) -> Par postulat 5(a)

Maintenant, fonction OR de F₁  = (x + y), (x' +z), ( y + z) avec des variables manquantes

(3)

(x + y) = (x + y) + zz' -> ORing avec zz'

= (x + y + z) . (x + y + z') —> en utilisant la loi distributive a + b . c

= (a + b) . (a + c). Ici (x + y) =a, z= b et z' =c

(4)

(x'+ z) = (x' + z) + yy' -> ORing avec yy'

= (x' + y + z) . (x' + y' + z) -> en utilisant la loi distributive a + b . c

= (a+ b) . (a + c). Ici (x' + z) =a, y= b et y' =c

(5)

(y + z) = (y + z) + xx' -> OU avec xx'

= (x + y + z) . (x' + y + z) -> en utilisant la loi distributive a + b . c

= (a + b) . (a + c). Ici (y + z) =a, x= b et x' =c

F₁ = (x + y) . (x' + z) . (y + z)

= (x + y + z) . (x + y + z') . (x' + y + z) . (x' + y' + z) . (x + y + z) . (x' + y + z)

-> remplacement des valeurs de (3), (4) et (5)

= (x + y + z) . (x + y + z) . (x + y + z') . ( x' + y + z) . ( x' + y + z) . (x' + y' + z) -> arranger les termes

= (x + y + z) . (x + y + z') . ( x' + y + z) . (x' + y' + z) -> Utilisation du théorème 1(b)

Enfin F₁ = (x + y + z) . (x + y + z') . ( x' + y + z) . (x' + y' + z)

D'après le tableau à 3 variables, F₁ = M₀.M₁ . M₄.M₆

Nous pouvons également écrire F₁ comme

F₁(x, y, z) = Σ(0,1,4,6)

Ici, le symbole Σ signifie AND des termes et les nombres entre parenthèses sont les termes maximum de cette fonction.

Minterms et maxterm peuvent également être représentés pour 4 variables.

Le tableau à 3 variables peut être étendu à 4 variables, comme indiqué dans le tableau ci-dessous:

Représentation Minterms et Maxterms pour 4 variables

Supposons que nous ayons une fonction à 4 variables F, = w'x'y'z + wxy'z + w'x'yz + wxyz, alors

F₁= m₁+ m₁₃ + m₃ + m₁₅

= m₁+ m₁₃ + m₃ + m₁₅

F₁ (w, x, y, z) = Σ(1, 3, 13, 15) sous la forme Somme du produit

Encore une fois, si nous avons une fonction

F₂= (w' + x'+ y '+ z) . (w + x + y + z) . (w' + x'+y + z)

= M₁₄. M₀ . M₁₂ = M₀ . M₁₂  . M₁₄

F2(w, x, y, z) = Σ(0, 12, 14) sous forme de produit de somme

Conversion entre différentes formes canoniques

Une fonction booléenne sous une forme canonique peut être convertie en une autre forme canonique.

Les différentes conversions sont :

1. Somme des termes minimaux de F au produit des termes maximaux de F

2. Produit des termes maximum de F par la somme des termes de F

3. Somme des Minterms de F à Somme des Minterms de F'

4. Produit des Maxterms de F au produit des Maxterms de F'

5. Somme des Minterms de F au produit des Maxterms de F'

6. Produit des Maxterms de F à la Somme des Minterms de F'

1. Somme des Minterms de F au produit des Maxterms de F :

Pour convertir une fonction booléenne F donnée de la forme Somme des minterms de la forme F au produit des Maxterms de la forme F, la règle est de changer le symbole Σ(OR des termes) en π(AND des termes) et de changer les nombres entre parenthèses avec les nombres qui sont manquant.

Cela signifie changer les indices minterm avec les indices minterm qui manquent.

Ceci est illustré dans les exemples suivants.

i. Étant donné

F₁(x, y, z) = π(2, 5 ,6, 7) —> Somme des Minterms

Alors, F₁(x, y, z) = π(0, 1, 3, 4) ->Produit des Maxterms

ii. Étant Donné

F₂(x, y, z) = π(0, 1, 2, 4, 6, 7) -> Somme des Minterms

Alors, F₂(x, y, z) = π(3, 5) —> Produit des Maxterms

2. Produit de Maxterms de F à la somme des Minterms de F :

Pour convertir une fonction booléenne F donnée du produit de la forme maxterm de F en somme des minterms de la forme F, la règle est de changer le symbole π(AND des termes) en Σ(OR des termes) et de changer le nombre entre parenthèses avec les nombres qui manquant.

Cela signifie changer les indices maxterm avec les indices maxterm qui manquent. Ceci est illustré dans les exemples suivants :

i. Étant Donné

F₁ (x, y, z) = π(0, 1, 3, 5) -> Produit des Maxterms

Alors, F₁(x, y, z) = Σ(2, 4, 6, 7) —> Somme des Minterms

F₂(x, y, z) = 7i (2, 3, 4, 5, 7) —>Produit de la forme Maxterms

Alors, F₂(x, y, z) = Σ(0, 1 , 6) —»Formulaire Somme des Minterms

3. Somme des Minterms de F à Somme des Minterms de F' :

Pour convertir une fonction booléenne F de somme des minterms de F en somme des minterms de son complément F', la règle est que le symbole Σ restera tel quel mais changera les nombres entre parenthèses avec les nombres manquants.

Cela signifie changer les indices minterm avec les indices minterm qui manquent.

En d'autres termes, nous pouvons dire que si une fonction booléenne F (x, y, z) est représentée par une somme de minterm dont la valeur est 1 dans le tableau, alors sa fonction booléenne complémentaire F' sera représentée par une somme de minterm dont la valeur est 0 dans le tableau.

Ceci est illustré dans l'exemple suivant :

F₁(x, y, z) = Σ(1, 2, 5, 7) —> Formulaire Somme des Minterms

Alors, F₁'(x ,y, z) = Σ(0, 3, 4, 6) —> Forme Somme des Minterms

4. Produit de Maxterms de F au produit de Maxterms de F' :

Pour convertir la fonction booléenne F du produit des termes maximum de F en produit des termes maximum de F', la règle est que le symbole Σ restera tel quel mais changera les nombres entre parenthèses avec les nombres manquants.

En d'autres termes, nous pouvons dire que si une fonction booléenne F(x, y, z) est représentée par le produit de maxterms dont la valeur est 0 dans le tableau, alors sa fonction booléenne complémentaire F' sera représentée par le produit de maxterms dont la valeur est 1 dans le tableau.

Ceci est illustré dans l'exemple suivant :

F₁(x, y, z) = π(0, 1, 5) —> Produit de la forme maxterms

Alors, F₁'(x, y, z) = π(2,3,4,6,7) -> Produit de la forme maxterms

Remarque : le symbole k ne change pas mais les indices entre parenthèses changent.

5. Somme des Minterms de F au produit de Maxterms de F'

Pour convertir une fonction booléenne F de Somme des termes de F en Produit des termes maximum de F', nous utiliserons la loi de De-Morgan.

Ceci est illustré dans l'exemple suivant :

F₁(x, y, z) = m₀ + m₅ + m₆ + m₇ = Σ(0, 5, 6, 7)

F₁'(x, y, z) = ( m₀ + m₅ + m₆ + m₇)'

= m₀' . m₅' m₆' m₇' -> Utilisation de la loi de De-Morgan

Nous savons que m_i' = M_i d'après le tableau.

Donc,

F₁'(x, y, z) = m₀' . m₅' m₆' m₇'

= M₀. M₅. M₆. M₇

= π(0, 5, 6, 7)

Ainsi F₁(x, y, z) = Σ(0, 5, 6, 7) -> Somme des minterms de F₁

F₁'(x, y, z) = π(0, 5, 6, 7) —> Produit des termes max de F₁

Remarque : Ici, le symbole passe de π à Σ mais les indices entre parenthèses restent les mêmes.

6. Produit de Maxterms de F à la somme des Minterms de F'

Pour convertir une fonction booléenne F du produit des termes max de F en somme des termes min de F', nous utiliserons la loi de De-Morgan.

Ceci est illustré dans l'exemple suivant :

F₁(x, y, z) = M₀. M₅. M₆. M₇  = π(0, 1, 3, 5, 7)

F₁'(x, y, z) = (M₀. M₅. M₆. M₇)'

= M₀'+ M₁'+ M₃'+ M₅' + M₇' -> Utilisation de la loi de De-Morgan

Nous savons que M_i' = m_i du tableau.

Donc,

F₁'(x, y, z) = M₀'+ M₁'+ M₃'+ M₅' + M₇'

= m₀+ m₁+ m₃ +m₅ + m₇ = Σ(0,1,3,5,7 )

Ainsi F₁(x, y, z) = π(0, 1, 3, 5, 7) -> Produit des termes max de F₁

F₁'(x, y, z) = Σ(0, 1,3 ,5, 7) -> Somme des minterms de F₁

Remarque : Ici, le symbole passe de π à Σ mais les indices entre parenthèses restent les mêmes.

 Représentation sous forme standard d'une fonction booléenne

Nous savons que sous forme canonique, chaque minterm ou maxterm d'une fonction booléenne doit contenir toutes les variables soit sous forme vraie, soit sous forme complément afin de représenter une fonction booléenne donnée.

 Nous avons une autre façon de représenter la fonction booléenne.

C’est ce qu’on appelle le formulaire standard.

Sous forme standard, les termes de la fonction booléenne peuvent avoir une, deux ou n'importe quel nombre de variables.

Contrairement à la forme canonique, dans la forme standard, la fonction booléenne n'exige pas que chacun de ses termes contienne toutes les variables.

Le formulaire standard est de deux types :

Somme des produits (SOP)

Produit des sommes (POS)

Forme standard sous forme de somme des produits (SOP)

Sous la forme Somme du produit (SOP), une fonction booléenne est représentée par la combinaison OR (Somme) des termes AND (produit).

Ceci est illustré dans les exemples suivants :

i. F₁ = x'+ xz + xy'+ xy'z

Dans la fonction booléenne F₁, il y a 4 termes AND(produit).

Ce sont : x', xz, xy' et x'y'z.

La fonction Booléen F, est représentée sous forme SOP par un OR (Somme) de ces termes de produit.

D'où Somme du Produit (SOP).

ii. F₂= x'y'+ xz +yz + xyz

Dans la fonction booléenne F₂, il y a 4 termes AND(Produit).

Ce sont : x y, xz, yz et xyz.

La fonction booléenne F₂ est représentée sous forme SOP en effectuant un OR (Somme) de ces termes de produit.

D'où Somme du Produit (SOP).

Remarque : Dans les deux fonctions booléennes F₁ et F₂, les termes produits x'.xz, xy et xyz de F₁ et x'yxz, yz et xyz de F₂ contiennent une, deux ou trois variables, ce qui ne signifie pas nécessairement tous les termes.

Forme standard sous forme de produit de somme (POS)

Sous la forme Produit de sommes, une expression booléenne est représentée par AND (multiplication) des termes OR (Somme).

Ceci est illustré dans les exemples suivants :

i. F₁ = y . (x' + y') . (x' + y) . (x' + y' + z')

Dans la fonction booléenne F₁ il y a 4 termes OR (somme) y (une variable), (x' + y') (deux variables), x' + y (deux variables) et x' + y' + z' ( trois variables).

F₁ est représenté sous forme POS en combinant AND ces termes OR.

ii. F₂ = (x' + y') . (x + y + z) . (x + y + z' + w')

Ici, dans F₂, il y a 4 termes OU de 2, 3 et 4 variables.

Une fonction booléenne ne peut être ni sous forme SOP ni sous forme POS, comme indiqué ci-dessous.

F₃ =(xy'+ x'y') (x'z'+ xz')

La fonction booléenne F₃ peut être transformée en forme standard en utilisant la loi de distribution (postulat 4).

Selon la loi distributive,

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Maintenant, F₃ =(xy'+ x'y') (x'z'+ xz')

Soit (xy'+ x'y') = p, (x'z') = q et (xz') = r

Donc F₃=p . (q + r)

= (p . q) + (p . r) —> en utilisant la loi distributive

En remplaçant les valeurs de p, q et r, nous obtenons F₃ = [(xy'+ x'y') . (x'z')] + [(xy' + x'y') . (xz')]

Maintenant, soit [(xy'+ x'y') . (x'z')] =A et [(xy'+ x'y'). (xz')] =B

Nous allons d'abord simplifier A, puis B, puis combiner les valeurs simplifiées de A et B pour obtenir le F₃ final.

Commençant par A = [(xy' + x'y') . (x'z')]

Soit ici, x'z' = p, xy' = q et x'y' = r

Donc,

A = (q + r) . p

 = (p . q) + (p . r) —> en utilisant la loi distributive

En remplaçant les valeurs de p, q et r, nous obtenons

A=[(x'z') . (xy')] + [(x'z') . (x'y')]

= 0 + x'z' x'y' en utilisant x . x' =0

= x'yz' en utilisant a . a =a

Nous allons maintenant simplifier B.

B = [(xy'+ x'y') . (xz')]

Ici soit xz' = p,  xy' = q et x'y' = r .

Donc, B = (q + r) . p

= (p . q) + (p .r ) —> en utilisant la loi distributive

En remplaçant les valeurs de p, q et r, nous obtenons

B=[(xz') . (xy')] + [(xz') . (x'y')]

= xz' xy'+ 0 —> x . x' =0

= xy'z' —> a . a =a

Combiner les valeurs simplifiées de A et B pour obtenir le F₃ final

F₃ = A + B = x'yz' + xy'z'.

Ainsi F₃ est sous forme SOP.