impliquants dans K-Map
Dans une K-Map pour la simplification des fonctions booléennes, certains termes doivent être compris. Ces termes sont discutés comme suit :
impliquants :
Dans une K-Map, pour une fonction booléenne SOP donnée, tout 1 unique ou un groupe de 1 adjacents (paire, quad, octet) qui peuvent être combinés ensemble représente un terme de produit ou une variable commune.
Tous ces termes produits et variables communes obtenus sont appelés impliquants.
Sur une K-Map, pour une fonction booléenne POS donnée, tout 0 unique ou groupe de 0 adjacents (paire, quad et octet) qui peuvent être combinés ensemble représente un terme de somme ou une variable commune.
Tous ces termes de somme et variables communes obtenus sont appelés impliquants.
Par exemple, dans la figure ci-dessous, la K-Map à quatre variables pour la fonction booléenne SOP F1 = Σm (3, 4, 5, 7, 8, 13, 14, 15) est représentée.
Certains impliquants de la K-Map sont présentés dans la figure ci-dessous:
impliquants sur K-Map
| CD | |||||
| C'D' | C'D | CD | CD' | ||
| AB | A'B' | 1 | |||
| A'B | 1 | 1 | 1 | ||
| AB | 1 | 1 | 1 | ||
| AB' | 1 | ||||
Les impliquants possibles sont : AB'C'D', ABC, BCD, A'CD, BCD, A'BC et BD comme le montre la figure.
D'autres impliquants possibles (non indiqués sur la figure) sont A'BD et ABD.
Impliquants premiers :
Un impliquant est un impliquant (impliqé) premier s'il ne peut pas être combiné avec un autre groupe de 1 pour obtenir une variable commune ou un terme de produit dans le cas de SOP (et un terme de somme dans le cas de POS).
Soit F n'importe quelle fonction booléenne SOP dont la K-Map est représentée sur la figure ci-dessous:
| yz | |||||
| y'z' | y'z | yz | yz' | ||
| wx | w'x' | 1 | 1 | 1 | |
| w'x | 1 | 1 | |||
| wx | 1 | ||||
| wx' | 1 | 1 | |||
Ici, les impliquants premiers sont : WX'Z', WX'Y' et W'Y car ils ne peuvent pas être combinés avec un autre groupe de 1 pour obtenir une variable commune ou un terme de produit pour une simplification supplémentaire d'une fonction booléenne donnée.
L'impliquant W'X' Y'Z' n'est pas un impliquant premier car il peut être combiné avec a'b'cd' ou ab'c'd' pour obtenir une variable commune ou un terme de produit.
De même, W'YZ et W'YZ' ne sont pas des impliquants principaux car ils peuvent être combinés pour obtenir un terme produit simplifié ac'.
Impliquants premiers essentiels :
Un impliquant principal est un impliquant principal essentiel s'il contient un 1 qui ne fait partie d'aucun autre impliquant principal.
Soit F n'importe quelle fonction booléenne SOP dont la K-Map est représentée sur la figure ci-dessous.
Impliquants premiers essentiels sur K-Map
| yz | |||||
| y'z' | y'z | yz | yz' | ||
| wx | w'x' | 1 | x | ||
| w'x | 1 | 1 | |||
| wx | 1 | 1 | 1 | ||
| wx' | 1 | ||||
Dans la figure, les principaux impliquants sont :
A'C, ACD, A'B'D', A'BD, BCD.
En sortie de ces 5 implicants premiers, les implicants premiers essentiels sont : A'C, ACD et A'B'D'.
A'C est un impliquant premier essentiel car 1 au minterm m ne fait partie d'aucun autre implicant premier.
De même, ACD est un impliquant premier essentiel car 1 au minterm m11 ne fait partie d'aucun autre impliquant premier et A'B'D' est un impliquant premier essentiel car 1 au minterm m2 ne fait partie d'aucun autre impliquant premier.
Condition Don't Care
Nous avons souvent des circuits logiques pour lesquels aucune sortie n’est définie pour un ensemble d’entrées donné.
En d'autres termes, nous pouvons dire que pour un circuit logique donné, dans certaines conditions, la valeur de sortie n'est pas spécifiée pour certaines valeurs d'entrée car ces valeurs d'entrée ne sont pas valides ou ces valeurs d'entrée ne peuvent jamais se produire pour ce circuit logique donné.
Un tel ensemble de combinaisons d'entrée/sortie est appelé condition d'indifférence, car nous ne nous soucions pas de la nature de la sortie, car ces valeurs d'entrée sont impossibles à produire ou invalides pour un circuit logique donné.
Par exemple, supposons que nous ayons une calculatrice avec des LED à 7 segments (diodes électroluminescentes).
Ces LED peuvent afficher un total de 27 6 1 = 127 modèles sur la calculatrice, mais seulement 10 modèles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sont utiles, le reste n'est d'aucune utilité.
Ainsi, pour ces valeurs d’entrée restantes, la sortie n’est pas spécifiée.
De même, dans le code 8421, les entrées 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ne sont pas valides et donc leurs sorties correspondantes ne s'en soucient pas (Don't Care).
De même dans le code Excess-3, les entrées 0000, 0001, 0010, 1101, 1110 et 1111 ne sont pas valides donc les sorties correspondantes s'en soucient pas (Don't Care).
Lorsque nous mappons ces circuits logiques (qui ont des entrées invalides) avec une fonction booléenne sur SOP K-Map, nous marquons « 1 » pour une combinaison d'entrée/sortie valide (c'est-à-dire que nous marquons « 1 » pour ces termes valides).
Et pour un POS. K-Map, nous marquons « 0 » pour une combinaison d'entrée/sortie valide (c'est-à-dire que pour des termes maximum valides, nous marquons « 0 » sur K-Map).
Maintenant, pour tout le reste, combinaison invalide, nous ne nous en soucions pas, nous marquons « X » sur la map (pour les cartes POS et SOP).
Les Don't Care, marqués par un 'X' sont également utilisés pour la simplification des fonctions booléennes.
Pour SOP K-Map, ces 'X' peuvent être traités comme '1', s'ils sont utiles dans la simplification des fonctions booléennes, sinon ils sont traités comme '0' et ne sont pas utilisés dans le processus de simplification.
De même pour POS K-Map, ces 'X' peuvent être traités comme '0' s'ils sont utiles dans la simplification des fonctions booléennes, sinon ils sont traités comme '1' et ne sont pas utilisés dans le processus de simplification.
Voici quelques exemples montrant Don't Care de K-Map.
Exemple: Simplifier la fonction booléenne SOP
F1 (w, x, y, z) = Σm(0, 2, 6, 7, 10, 15)
Avec des conditions Don't Care
d(w, x, y, z) = Σm(1, 4, 5, 8, 12)
Solution :
Les étapes sont les suivantes :
Étape 1 : Tout d'abord, marquez « 1 » dans les cellules de K-Map, dont les minterms sont là en fonction F1.
Ce sont 0, 2, 6, 7, 10 et 15.
Étape 2 : Marquez « X » dans toutes les cellules de K-Map, dont les termes sont là, Don't Care d.
Ce sont 1, 4, 5, 8 et 12.
Étape 3 : Regroupez « 1 » et « 1» et « X » dans les cellules adjacentes. 2 quads et une paire sont formés.
Étape 4 : Les termes produits obtenus à partir des quads sont w'z' et x'z'.
Le terme produit obtenu à partir de la paire est xyz.
Additionnez ces termes de produit pour former une fonction booléenne simplifiée F.
Ceci est illustré à la figure ci-dessous:
F1 sur K-Map
| yz | |||||
| y'z' | y'z | yz | yz' | ||
| wx | w'x' | 1 | x | 1 | |
| w'x | x | x | 1 | 1 | |
| wx | x | 1 | |||
| wx' | x | 1 | |||
F1 simplifié, = w'z' + x'z' + xyz.
Exemple: Simplifiez la fonction booléenne SOP.
F2 (w, x, y, z) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8)
Avec des conditions Don't Care
d (w, x, y, z) = (6, 10, 11, 12, 13, 14)
Solution :
Les étapes sont les suivantes :
Étape 1 : Marquez « 1 » dans toutes les cellules de K-Map dont les monteurs se trouvent en F2.
Ce sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8.
Étape 2 : Marquez « X » dans toutes les cellules de K-Map, dont les termes sont là, Don't Care d.
Ce sont 6, 10, 11, 12, 13 et 14.
Étape 3 : Regroupez « 1 » et « 1& X » dans les cellules adjacentes. 2 octets sont formés.
Étape 4 : Le terme commun obtenu à partir de l'octet 1 est w' et le terme commun obtenu à partir de l'octet 2 est z'.
Additionnez ces termes pour former la fonction booléenne simplifiée F2.
Ceci est illustré à la figure ci-dessous:
| yz | |||||
| y'z' | y'z | yz | yz' | ||
| wx | w'x' | 1 | 1 | 1 | 1 |
| w'x | 1 | 1 | 1 | x | |
| wx | x | x | x | ||
| wx' | 1 | x | x | ||
D'où F2= w'+ z' simplifié.
Octet 1 = 1111111x
Octet 2 = 11x11xxx
