K-Map à cinq et six variables

Introduction : La simplification des fonctions booléennes à cinq et six variables de K-Map n'est pas si facile à mettre en œuvre, mais nous discuterons brièvement de K-Map à cinq et six variables.

Les cinq variables K-Map se composent de 2⁵ = 32 cellules.

Ces 32 cellules sont représentées à l'aide de deux maps à 4 variables avec les variables V, W, X, Y, Z.

La variable V fait la distinction entre les deux maps à 4 variables utilisées pour représenter la K-Map à cinq variables.

Une map à 4 variables se compose des minterms m₀ à m₁₅ avec la variable V=0 et une autre map à 4 variables se compose des minterms m₁₆ à m₃₁ avec V=1 pour la simplification de la fonction booléenne SOP, comme le montre la figure ci-dessous.

K-Map à cinq variables pour la fonction booléenne SOP V = 0

La map à cinq variables peut être constituée de paires, de quads, d'octets, d'un groupe de 16 cellules et d'un groupe de 32 cellules.

Dans les deux maps à quatre variables, les cellules adjacentes sont disposées de la même manière que dans la map à quatre variables évoquée précédemment.

La définition des cellules adjacentes reste la même que pour K-Map variables à quatre, c'est-à-dire que m₀ est adjacent à m₁, m₁ est adjacent à m₃,  m₂ est adjacent à m₁ et ainsi de suite.

Un ajout important dans la définition des cellules adjacentes pour la K-Map à cinq variables est que chaque cellule de la K-Map à quatre variables, avec V = 0, est adjacente à sa cellule correspondante dans la K-Map à quatre variables avec V = 1.

Une map à 4 variables est placée sur une autre carte à quatre variables, les cellules superposées sont adjacentes les unes aux autres.

Ainsi, d'après la carte de la figure ci-dessous, m₀ est adjacent à m₁₆ ; m₁ est adjacent à m₁₇ ; m₂ à m₁₈ ; m₃ à m₁₉ ; m₁₅ à m₃₁ ; m₉ à m2₅ ; m₅ à m₂₁ et ainsi de suite.

K-Map à cinq variables pour la fonction booléenne SOP V = 1

Les paires possibles sur la figure sont : m₀ et m₁ ; m₁ et m₃ ; m₂ et m₁₈ ; m₅ et m₂₁ ; m₁₀ et m₂₆ et ainsi de suite.

Les quads possibles dans la figure sont : m₀, m₂ ,m₁₆ et m₁₈, m₀, m₁₆ et m₁₇ ; m₀ ,m₄, m₁₆ et m₂₀ ainsi de suite.

Les octets possibles sur la figure sont : m₀, m₁, m₃, m₂, m₁₆, m₁₇, m₁₉ et m₁₈ ;  m₀, m₄, m₁₂, m₈, m₁₆, m₂₀, m₂₈ et m₂₄ et ainsi de suite.

La figure ci-dessous montre cinq K-Map variables pour la fonction booléenne POS.

La première map à 4 variables se compose des maxterms M₀ à M₁₅ avec V=0 et une autre carte à quatre variables se compose des maxterms M₁₆ à M₃₁ V=1 comme le montre la figure ci-dessous:

K-Map à cinq variables pour la fonction booléenne POS V = 0

K-Map à cinq variables pour la fonction booléenne POS V = 1

Les règles pour les cellules adjacentes pour le POS sont les mêmes que celles évoquées ci-dessus pour la K-Map à cinq variables SOP.

Les paires possibles, le quad possible et l'octet possible sont également les mêmes que ceux évoqués ci-dessus, sauf qu'à la place des minterms, les maxterms seront utilisés.

Quelques exemples de K-Maps À cinq variables sont présentés ci-dessous.

Exemple: Simplifiez la fonction booléenne F₁ en utilisant K-Map F₁ (V, W, X, Y, Z)
- Σm(0, 1, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 25, 29)

Solution : Les étapes sont les suivantes :

Étape 1 : Comme dans les exemples précédents, marquez «1» dans toutes les cellules dont les minterms sont en F₁.

Étape 2 : Groupe de 1, 3 quads sont formés.

Étape 3 : Le terme produit obtenu à partir du quad 1, du quad 2 et du quad 3 est respectivement

W'X'Y', V'WZ et WY'Z.

Additionnez ces termes de produit pour obtenir la fonction booléenne simplifiée F₁.

Numéro de cellule

La K-Map pour F₁ est illustrée à la figure ci-dessous:

Quad 1 = 1111

Quad 2 = 1111

Quad 3 = 1111

Explication :

Dans la figure le quad 1 est formé de cellules de 2 maps à quatre variables différentes, où dans une map V=0 et dans une autre V=1, donc V n'est pas une variable commune.

La variable commune ainsi obtenue du quad 1, en voyant les cellules 0, 1, 16 et 17 est W'X'Y'.

Le quad 2 est formé à partir de cellules d'un seul côté gauche d'une K-Map à 4 variables, donc V est une variable commune obtenue, l'autre terme produit obtenu est WZ.

Nous avons donc V'WZ obtenu à partir du quad 2.

Le quad 3 est formé à partir des cellules 9, 13, 25 et 29.

Les cellules 9 et 13 appartiennent au côté gauche de K-Map à quatre variables et les cellules 25 et 29 appartiennent au côté droit du K-Map à quatre variable, donc v n'est pas une variable commune (comme dans la map de gauche, nous avons V=0 et dans la map de droite V=1).

La variable commune ainsi obtenue du quad 3 est WY'Z.

Exemple: Simplifiez F₂ à l'aide de K-Map.

F₂ (V, W, X, Y, Z) = Σm (4, 6, 9, 11, 12, 14, 20, 22, 25, 27, 28, 30)

Solution: les étapes sont les suivantes :

Étape 1 : Marquez «1» dans toutes les cellules dont les minterms se trouvent en F₂.

Étape 2 : Groupe de «1» dans les cellules adjacentes, 1 quad et 1 octet sont formés.

Étape 3 : Le terme de produit obtenu à partir de quad est WX'Z et le terme de produit obtenu à partir de l'octet est XZ'.

Somme ces termes de produit pour obtenir la fonction booléenne simplifiée F₂.

Ceci est illustré dans la K-Map de la figure ci-dessous:

Quand = 1111

Octect = 11111111

F₂ simplifié = W X'Z + XZ'

Explication :

Dans la figure, le quad est formé des cellules 9, 11, 25 et 27.

Les cellules 9, 11 appartiennent à la K-Map à quatre variables du côté gauche et les cellules 25 et 27 appartiennent à la K-Map à quatre variables du côté droit, ainsi V n'est pas une variable commune (comme dans la map K à quatre variables du côté gauche V = 0 et dans la carte du côté droit V = 1).

La variable commune en quad est WX'Z.

L'octet est formé de cellules de 4,12, 6,14,20, 28,22 et 30.

Les cellules 4,12, 6 et 14 appartiennent à la map de gauche, tandis que les cellules 20,28,22 et 30 appartiennent à la map de gauche et sur la map de droite.

Ainsi V n'est pas une variable commune. La variable commune est XZ'.

Nous allons maintenant discuter de K-Map à  six variables.

K-Map à  six variables

Une K-Map à six variables se compose de 2⁶ = 64 cellules.

Ces 64 cellules sont implémentées à l'aide de quatre K-Map « 4 variables ». Chaque cellule représente un Minterm (en cas de SOP) ou un Maxterm (en cas de POS).

La K-Map à six variables pour la fonction booléenne SOP est illustrée à la figure ci-dessous:

K-Map à six variables pour la fonction booléenne SOP

A= 0, B = 0

A= 0, B = 1

A= 1, B = 0

A= 1, B = 1

Les quatre variables K-Map en haut à gauche représentent les minterms m₀ - m₁₅ en cas de SOP
et les maxterms M₀ - M₁₅ en cas de POS.

La valeur de A est 0 et B est 0.

Les quatre variables K-Map en haut à droite représentent les minterms m₁₆ - m₃₁ dans SOP et les Maxterms M16 à M31 dans POS. La valeur de Ais 0 et B est 1.

Les quatre variables K-Map en bas à gauche représentent minterm m₃₂ - m₄₇ dans SOP et maxterms M32 - M47 dans POS. La valeur de Ais 1 et B est 0.

Les quatre variables K-Map en bas à droite représentent les minterms m₄₈ - m₆₃ dans SOP et les maxterms M₄₈ - M₆₃  dans POS avec A=1 et B=1.

Les K-Map à six variables ne sont pas faciles à cartographier et sont donc peu pratiques et longues à utiliser.

La méthode de tabulation discutée dans la section suivante peut être utilisée pour simplifier la fonction booléenne avec un grand nombre de variables (six ou plus de six variables).

Nous allons maintenant discuter des implicants Prime qui jouent un rôle important dans les K-Maps pour la simplification des fonctions booléennes.