K-Map à trois variables

Lorsqu'une fonction booléenne se compose de 3 variables (supposons x, y et z), alors trois variables K-Map sont utilisées pour simplifier la fonction booléenne.

Dans trois cartes de variables, il y a au total 2³ = 8 cellules, où chaque cellule représente soit un minterm si la fonction booléenne est sous forme SOP, soit un maxterm si la fonction booléenne est sous forme POS.

Nous examinerons le mappage et la simplification des fonctions booléennes SOP et POS à l'aide de K-Map un par un.

La simplification d'une fonction booléenne à trois variables est la forme Somme du produit (ou somme des termes) à l'aide de K-Map) :

Une fonction booléenne à trois variables sous forme SOP se compose de différents minterms. Les termes possibles pour une fonction booléenne à 3 variables sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Minterms (m₀-m₃) pour trois variables binaires

La K-Map à trois variables pour les fonctions booléennes SOP est composée de 8 cellules 2³=8 où chaque cellule représente un minterms, comme le montre la figure ci-dessous.

K-Map à trois variables pour SOP Boolean

Notez que les cellules ne sont pas ajustées en séquence binaire, mais en séquence de code gris.

En effet, si nous ajustons les cellules adjacentes dans une séquence binaire, les cellules adjacentes des rangées 2, 3 et 4 différeraient de deux variables et nous ne pouvons donc pas trouver de variable commune ou de terme de produit simplifié pour simplifier notre fonction booléenne.

Par exemple, x'y'z et x'yz' diffèrent par deux variables.

Les étapes (règles) pour simplifier la fonction booléenne sous forme SOP à l'aide de K-Map sont :

Toutes les étapes de simplifications sont les mêmes que celles de K-Map à deux variables  pour la fonction booléenne SOP, sauf un ajout à l'étape (iii) qui ajoute également la formation d'octets,

L'étape (iii) est la suivante : regrouper les 1 dans des cellules adjacentes pour former d'éventuels octets, quadruples et paires.

Le premier octet est formé, puis le quad puis la paire. C'est la séquence.

Voici quelques exemples pour illustrer la simplification de la fonction booléenne (sous forme SOP) à l'aide de K-Map.

Exemple:

Simplifiez la fonction booléenne F₁ = x'y'z + x'y'z' + xy'z + xyz = Σm(0, 1, 5, 7) en utilisant K-Map.

Solution : F₁ = x'y'z + x'y'z' + xy'z + xyz

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F est sous forme SOP, passez à l’étape suivante.

Étape 2 : Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₁.

Ces termes sont :

x'y'z, x'y'z', xy'z, xyz.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes. Deux couples se forment.

Étape 4 : La variable commune de la paire 1 est x'y' et la variable commune de la paire 2 est xz. Additionnez ces termes de produit pour former F₁ simplifié.

Ceci est illustré à la figure ci-dessous:

K-Map pour F₁

Donc à partir de K-Map simplifié F₁ = x'y' + xz

Exemple:

Simplifiez la fonction booléenne F₂ = x'y'z' +xyz' +xy'z' + xy'z + xyz' = Σm(0, 2, 4, 5, 6) en utilisant K-Map.

Solution :

F₂ = x'y'z' +xyz' +xy'z' + xy'z + xyz'

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F2 est sous forme SOP, passez à l'étape suivante.

Étape 2 : Marquez « 1 » dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₂.

Ces termes sont :

x'y'z', xyz', xy'z', xy'z, xyz'.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes. Une paire et un quad sont formés.

Étape 4 : Additionnez la variable commune z' obtenue à partir de Quad et le terme produit xy' obtenu à partir de la paire pour former F₂ simplifié.

Ceci est illustré à la figure ci-dessous. D'où le K-Map simplifié

K-Map pour F₂

F₂ = xy' + z'

Exemple:

Simplifiez la fonction booléenne F₃ = x'y'z + x'yz' + x'yz' + xy'z + xyz' + xyz = Σm(1, 2, 3, 5, 6,7) en utilisant K-Map.

Solution : F₃ = x'y'z +x'yz' +x'yz' + xy'z + xyz' + xyz

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₃ est sous forme SOP, passez à l'étape suivante.

Étape 2 : Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₃.

Ces termes sont :

x'y'z, x'yz', x'yz', xy'z, xyz', xyz.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes. Deux quads sont formés.

Étape 4 : Additionnez la variable commune z obtenue à partir du Quad 1 et la variable commune y obtenue à partir du Quad 2 pour former F₃ simplifié.

Ceci est illustré dans la Figure ci-dessous:

K-Map pour F₃

D'où à partir de K-Map simplifié F3 = z + y.

Simplification de trois fonctions booléennes variables sous forme de produit de somme (ou de produit de maxterm) à l'aide de K-Map :

Trois maxterms de fonctions booléennes variables sont présentés dans le tableau ci-dessous:

Maxterms (M₀-M₇) pour trois variables binaires

La K-Map à trois variables pour la fonction booléenne POS est composée de 8 cellules, 2³ = 8, où chaque cellule représente un terme maximum, comme le montrent les figures ci-dessous:

La cellule adjacente n'est pas ajustée en séquence binaire, mais en séquence de code gris.

Cette disposition des cellules est la même que celle de la disposition SOP K-Map.

K-Map à trois variables pour la fonction booléenne POS

Les étapes (règles) pour simplifier la fonction booléenne sous forme POS à l'aide de K-Map sont :

Toutes les étapes sont les mêmes que celles de la simplification de K-Map à deux variables pour la fonction booléenne POS, sauf un ajout à l'étape (iii), qui ajoute également la formation d'octets.

Ainsi,

L'étape (iii) est la suivante : regrouper les 0 dans les cellules adjacentes pour former d'éventuelles paires, quads et octets.

Essayez d'abord de former des octets, puis des quads et enfin des paires.

Voici quelques exemples pour illustrer la simplification de la fonction booléenne POS à l'aide de K-Map.

Exemple: Simplifier la fonction booléenne

F₁ = (x + y + z) . (x + y' + z) . (x + y' + z') . (x' + y + z) = π(0,2,3,4) en utilisant K-Map.

Solution :

F₁ = (x + y+  z) . (x + y' + z) - (x + y' + z') . (x' + y + z)

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₁ est en POS formulaire, alors passez à l’étape suivante.

Étape 2 : Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction F₁.

Ces termes maximaux sont :

(x + y + z), (x + y' + z), (x + y'+ z'), (x' + y + z).

Étape 3 : Regroupez les 0 dans les cellules adjacentes. Deux couples se forment.

Étape 4 : Produit le terme de somme x + y' obtenu à partir de la paire 1 et le terme de somme y + z obtenu à partir de la paire 2 pour former F₁ simplifié.

Ceci est illustré à la figure ci-dessous:

K-Map pour F₁

D'où de K-Map simplifié

F₁  = (x + y') .  (y + z)

Exemple: Simplifiez une fonction booléenne donnée.

F₂ =

(x + y + z) . (x + y + z') . (x + y' + z) . (x + y' + z') . (x '+ y + z) . (x' + y + z) . (x' + y +z')
. ( x' + y' + z') . ( x' + y'+ z)

Solution :

Les étapes sont :

Étape 1 : Étant donné que la fonction F₂ est sous forme de point de vente, passez à l'étape suivante.

Étape 2 : Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction F₂.

Étape 3 : Regroupez les 0 dans les cellules adjacentes. L'octet est formé.

Étape 4 : Lorsque l'octet est formé dans trois K-Map variables pour POS, il n'y a alors pas de variable commune.

Nous obtenons donc 0 comme fonction booléenne simplifiée.

D'où F₂ = 0 simplifié.

Ceci est illustré dans K-Map (voir Figure ci-dessous).

K-Map pour F₂