Codes binaires

Conception logique numérique

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Les codes binaires représentent des données, telles que des alphabets, des chiffres (0-9) et d'autres symboles dans un code standard appelé code binaire.

Codes numériques

Les différents types de codes numériques sont :

Code BCD/8421 et arithmétique BCD

Code excédent-3 (type de code BCD)

Codes alphanumériques

Les différents types de codes alphanumériques sont :

ASCII (Code standard américain pour l'échange d'informations)

EBCDIC (échange décimal codé binaire étendu)

Unicode

 Hollerith

Code cyclique

Code gris

Codes de détection d'erreur

Code de parité

Parité de bloc

 Somme de contrôle et CRC (contrôle de redondance cyclique)

Codes de correction d'erreur

Codes de Hamming

Discutons de chacun d’eux un par un.

Codes numériques

Les codes numériques représentent les informations à l'aide des chiffres 0 et 1. Le premier code numérique est le code BCD ou 8421.

BCD ou 8-4-2-1

BCD ou 8421 est l'un des codes numériques les plus utilisés.

En BCD, chaque chiffre décimal (0-9) est représenté par un nombre fixe de bits (généralement 4 ou 8 bits).

Le BCD est un code pondéré, ce qui signifie que chaque position représente un poids spécifique pour cette position de bit.

BCD attribue les poids 8,4,2 et 1 aux bits en fonction de leur position.

8-4-2-1 signifie 2³-2²-2¹-2⁰.

Supposons que nous ayons le nombre décimal 193.

Le BCD de 193 est :

Le code BCD le plus couramment utilisé est le code 8-4-2-1. 8, 4, 2 et 1 sont les poids des 4 bits du code BCD.

Le poids du LSB est 2⁰= 1,

le bit suivant d'ordre supérieur a un poids de 2¹=2,

le bit d'ordre supérieur suivant a un poids de 2²=4

et MSB a un poids de 2³= 8.

Puisque dans les systèmes de nombres décimaux, nous avons des chiffres de 0 à 9, donc binaire les codes 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 et 1111 ne sont pas utilisés.

Les nombres décimaux supérieurs à 9 (10, 11, 12, etc.) sont représentés dans un groupe de 4 bits, comme indiqué dans l'exemple ci-dessus.

Le tableau du code BCD 8421 pour les chiffres décimaux 0 à 9 est présenté dans le tableau ci-dessous.

 Tableau des codes BCD (8421) pour les chiffres décimaux 0 à 9

Conversion du nombre décimal en code BCD (8-4-2-1) :

Exemple: étant donné le nombre décimal 546. Trouvez son code BCD (8-4-2-1).

Solution:

Le BCD de 546 est :

Conversion du code BCD (8-4-2-1) en nombre décimal :

Exemple: étant donné le code BCD (8-4-2-1) 010101111001.

Trouvez son équivalent décimal.

Solution:

Ainsi, l'équivalent décimal du code BCD (8-4-2-1) 010101111001 est 579.

Les autres types de codes BCD sont : 2421 et 5211.

Le tableau pour 2421 et 5211 pour les nombres décimaux 0 à 9 est présenté dans le tableau ci-dessous.

Tableau BCD pour 2421 et 5211 pour les chiffres décimaux 0 à 9

Code BCD (2421)

Le code Aiken (également connu sous le nom de code 2421) est un code décimal codé binaire (BCD) complémentaire. Un groupe de quatre bits est affecté aux chiffres décimaux de 0 à 9.

Code BCD (5211)

Ce code est un code d'application de 4 bits où les poids binaires portent 5, 2, 1, 1 de gauche à droite. Le code 5211 représente donc les nombres décimaux de 0 à 9.

Addition et soustraction BCD

Ajout de BCD : Les règles d'ajout de BCD sont les suivantes :

i. Convertissez le nombre décimal donné en code BCD 4 bits. Ajoutez maintenant les chiffres correspondants dans un groupe de 4 bits (groupe BCD), en commençant par LSB.

ii. Si la somme de chaque groupe de 4 bits est inférieure ou égale à 9, la somme est correcte et est sous forme BCD.

iii. Si une somme de groupe de 4 bits est supérieure à 9, ou si elle génère un report à partir d'une somme de 4 bits, alors la somme n'est pas valide. Ajoutez 6 (0110) à ce groupe invalide.

6 est ajouté pour sauter 6 numéros illégaux 1010 à 1111.

Si, après l'ajout de 0110, un report est généré, ce report est ajouté au groupe BCD d'ordre supérieur suivant, mais le report du MSB est considéré comme faisant partie de la somme finale.

Exemple: Convertissez les nombres décimaux 21 et 33 en BCD, puis effectuez une addition BCD.

Solution:

Selon les règles d'addition BCD, la somme résultante est valide et correcte.

Exemple: Convertissez les nombres décimaux 79 et 18 en BCD, puis effectuez une addition BCD.

Solution:

Toutes les sommes de 4 bits sont inférieures à 9, mais la retenue est générée à partir d'un groupe de 4 bits et transmise au groupe suivant, la somme n'est donc pas valide.

Ajoutez 0110 au groupe de 4 bits qui a généré le report comme indiqué ci-dessous.

Exemple: convertissez les nombres décimaux 479,5 et 736,7 en BCD, puis effectuez une addition en BCD.

Solution:

Puisque la somme individuelle résultante de chaque groupe de 4 bits est >9 (1001), ajoutez donc 6 (0110) à chaque groupe.

Ceci est illustré ci-dessous.

Résultat = 0001001000010110.0010

Soustraction BCD :

Soustraction BCD : La soustraction BCD peut être effectuée des manières suivantes :

1. Soustraction BCD sans utiliser la méthode du complément.

2. Soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 9.

3. Soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 10.

1. Soustraction BCD sans utiliser le complément

Les étapes pour effectuer une soustraction BCD sans utiliser la méthode du complément sont les suivantes :

Étape 1 : Convertissez le nombre décimal donné en code BCD 4 bits. Soustrayez maintenant les chiffres correspondants dans un groupe de 4 bits, en commençant par LSB.

Étape 2 : Si l'emprunt est effectué auprès du groupe immédiatement supérieur, soustrayez 0110 du groupe qui a emprunté (0110 est soustrait pour ignorer 6 états illégaux).

Étape 3 : Le résultat final est la bonne réponse.

Exemple: Convertissez les nombres décimaux 83 et 10 en BCD, puis effectuez une soustraction BCD.

Solution:

Puisqu'aucun emprunt n'est effectué auprès du groupe immédiatement supérieur, il n'est donc pas nécessaire de soustraire 0110. Le résultat final est 01110011.

Exemple: convertissez les nombres décimaux 405.2 et 316.3 en BCD, puis effectuez une soustraction BCD.

Solution:

Puisque le groupe 1 a emprunté au groupe 2, soustrayez 0110 du groupe 1.

Le groupe 2 a emprunté au groupe 3, soustrayez donc 0110 du groupe 2

et le groupe 3 a emprunté au groupe 4, soustrayez donc 0110 du groupe 3.

Ceci est indiqué ci-dessous:

Le résultat final est 000010001000.1001

2. Soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 9.

Les étapes pour effectuer une soustraction BCD avec la méthode du complément à 9 sont :

Étape 1 : Trouvez le complément à 9 de la soustraction

Le complément à 9 signifie soustraire chaque chiffre du nombre décimal de 9.

Ex.

le complément à 9 de 4 = 9 - 4 = 5

le complément à 9 de 55 = 99 - 55 = 44

le complément à 9 de 145 = 999 - 145 = 854

le complément à 9 de 145.5 = 999.9 - 145.5 = 854.4

Étape 2 : Convertissez les deux nombres (subtrahend et minuend) en BCD.

Étape 3 : Additionnez les deux nombres en utilisant l’addition BCD.

Étape 4 :

Si après l'ajout de BCD, un report est généré à partir de MSB, ajoutez un report au résultat.

Si le report n'est pas généré à partir de MSB, convertissez le résultat en décimal et prenez le complément à 9 du résultat.

Convertissez ensuite le complément à 9 du résultat en BCD pour obtenir la réponse finale.

Exemple: Effectuez (316.4)₁₀ - (128.3)₁₀ par soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 9.

Solution:

Soustraction BCD en utilisant le complément à 9

Puisque le groupe 1 a généré le code BCD illégal 1010, 0110 y est ajouté.

Le groupe 4 a également généré le code illégal 1011, donc 0110 y est ajouté.

Le report final du groupe 4 est ajouté au résultat.

Résultat correct : 000110001000.0001

Exemple: Effectuez (75.3)₁₀ - (82.7)₁₀ par soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 9.

Solution:

Puisqu'aucun report n'est généré, le résultat est le complément à 9.

Le résultat est également négatif.

Complément à 9 de 92.5 = 99.9 - 92.5 = 7.4

BCD Soustraction en utilisant le complément à 9

Après l'ajout de BCD, le report n'est pas généré, alors convertissez le résultat généré en décimal et prenez son complément à 9.

Le résultat généré est 10010010,0101 = (92.5)₁₀

Complément à 9 de 92.5 = 99.9 - 92.5 = 7.4

Convertissez maintenant le complément à 9 du résultat en BCD pour obtenir la réponse finale.

BCD de 7.4 = 0111.0100

Réponse finale = 0111.0100

3. Soustraction BCD à l'aide de la méthode du complément à 10

Les étapes pour effectuer une soustraction BCD à l’aide de la méthode du complément à 10 sont :

Étape 1 : Trouvez le complément à 10 de subtrahend

le complément à 10 signifie d'abord prendre le complément à 9, puis y ajouter 1
(ou selon le ou les décimales 0.1 ou 0.01 ... etc.).

Ex.

le complément à 9 de 145.5 = 999.9 - 145.5 = 854.4

le complément à 10 de 145.5 = 854.4 + 0.1 = 854.5

ou 1000 - 145.5 = 854.5

Étape 2 : Convertissez les deux nombres (subtrahend et minuend) en BCD.

Étape 3 : Additionnez les deux nombres en utilisant l’addition BCD.

Étape 4 : Si après l'ajout du BCD, un report est généré à partir du MSB, ignorez-le.

Si le report n'est pas généré à partir de MSB, convertissez le résultat en décimal et prenez le complément par 10 du résultat.

Convertissez ensuite ce complément de 10 du résultat en BCD pour obtenir la réponse finale.

Exemple: Effectuez (346.8)₁₀ - (115.8)₁₀ par soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 10.

Solution:

Soustraction BCD en utilisant le complément à 10

Résultat final = 001000110001.0000

       Exemple: Effectuez (26.4)₁₀ - (72.9)₁₀ par soustraction BCD en utilisant la méthode du complément à 10.

Solution:

Puisqu'aucun report n'est généré, le résultat est un complément à 10.

Complément à 10 de 53.5 = 100 - 53.5 = 46.5

Le résultat est également négatif.

Soustraction BCD en utilisant le complément à 10

Après l'ajout de BCD, le report n'est pas généré en sortie de MSB, convertissez donc le résultat généré en décimal et prenez son complément par 10.

Le résultat généré est 01010011.0101 = (53.5)₁₀

complément à 10 de 53.5 = 100 - 53.5 = 46.5

Convertissez maintenant ce complément de 10 du résultat en BCD pour obtenir la réponse finale.

BCD de 46.5 = 010001100.101

Réponse finale = 010001100.101

Code Excess-3 (Code BCD)

Le code Excess-3 est également appelé code XS-3.

Il s'agit d'un code BCD non pondéré. Ici, chaque code binaire est généré en utilisant le code 8421 plus 0011 (3), d'où son nom de code Excess-3.

Il s'agit d'un code séquentiel, ce qui signifie que chaque code généré suivant est supérieur d'un bit à son code précédent.

À l'exception du code BCD 8421, tous les autres codes BCD 2421, 5211 et 5421 ne sont pas séquentiels.

Le code XS-3 étant séquentiel, des opérations arithmétiques peuvent y être effectuées. Il comporte également 6 états invalides.

Ce sont : 0000, 0001, 0010, 1101, 1110 et 1111 (car les nombres valides en BCD vont de 0 à 9 uniquement).

La table des codes XS-3 est présentée dans le tableau ci-dessous.

Tableau des codes XS-3

Addition et soustraction de code Excess-3

Addition et soustraction de code Excès-3

Ajout d'excès de 3 : les règles pour l'ajout de code d'excès de 3 sont les suivantes :

i. Convertissez le nombre décimal donné ou le nombre binaire donné en code excès-3.

Si le nombre est sous forme décimale, convertissez-le en forme binaire, puis ajoutez 0011 pour le rendre supérieur à 3.

Si le nombre est déjà sous forme binaire, ajoutez 0011 pour en faire un code en excès de 3.

ii. Commencez maintenant à ajouter des bits individuels de deux nombres donnés dans un groupe de 4 bits; à partir de LSB.

iii. Ajoutez (0011)₂ au terme de somme de tous les groupes de 4 bits qui génèrent du report, et ajoutez également (0011)₂ pour effectuer le report généré à partir de l'addition de bits le plus significatif.

(0011)₂ est ajouté pour ignorer six états illégaux.

iv. Soustrayez (0011)₂ de la somme des termes de tous les groupes de 4 bits qui ne génèrent aucune retenue.

(0011)₂ est soustrait pour faire la somme du code XS-3 car ils étaient devenus du code XS-6.

Exemple: Effectuez (83)₁₀ + (95)₁₀ en utilisant l'addition XS-3.

Solution:

Soustraction code Excess-3

La soustraction Excès-3 peut être effectuée de l'une des manières suivantes:

1. Soustraction Excès-3 sans utiliser la méthode du complément.

2. Soustraction Excès-3 en utilisant la méthode du complément à 9.

3. Soustraction Excès-3 en utilisant la méthode du complément à 10.

1. Soustraction Excès-3 sans utiliser de complément

Les étapes sont les suivantes :

Étape : Convertissez le nombre binaire/décimal donné en code excès-3.

Étape 2 : Soustrayez la soustraction du menu en commençant par LSB dans un groupe de 4 bits en utilisant des règles de soustraction binaire.

Étape 3 : ajoutez 0011 au terme de différence de tous les groupes de 4 bits qui n'ont pas emprunté au groupe de 4 bits d'ordre supérieur suivant.

En effet, lorsque la soustraction dans le code XS-3 est effectuée et qu'aucun emprunt n'est effectué, ce groupe de 4 bits passe sous forme binaire. 0011 est ajouté pour recréer ce code XS-3 de groupe de 4 bits.

Étape 4 : Soustrayez 0011 du terme de différence de tous les groupes de 4 bits qui ont emprunté au groupe de 4 bits d'ordre supérieur suivant.

Cela est fait parce que lorsque l'emprunt est effectué, le code passe à XS-6, donc soustraire 0011 en fait du code XS-3.

Exemple: Effectuez (24.9)₁₀ - (16.5)₁₀ en utilisant la soustraction XS-3.

Solution:

Étant donné que le groupe 1 et le groupe 3 n'ont emprunté aucun emprunt au groupe d'ordre supérieur suivant, 0011 est ajouté à leur terme de différence.

Le groupe 2 a emprunté au groupe d'ordre supérieur suivant 3, donc 0011 est soustrait du terme de différence du groupe 2.

2. Soustraction Excès-3 en utilisant le complément à 9

Le code Excess-3 est un code auto-complémentaire.

Cela signifie que le complément à 9 de tout nombre décimal est équivalent au complément à 1 du code excédentaire de 3 de ce nombre.

Prenons un exemple.

Complément à 9 de (6)₁₀ = 9 - 6 = (3)₁₀

Code XS-3 pour (3)₁₀ = 0110

Maintenant, si nous prenons le complément à 1 de 0110,

Complément à 1 de 0110 = 1001

1001 = code XS-3 pour (6)₁₀

Donc

Complément à 9 de (6)₁₀ = Complément à 1 du code XS-3 pour (6)₁₀

Les étapes de la soustraction Excès-3 en utilisant le complément à 9 sont :

Étape : 

Trouvez le complément à 9 de subtrahend.

Convertissez maintenant le minuend et le complément 9 du subtrahend en code excès-3.

Ajoutez maintenant les deux nombres en utilisant les règles d'addition en excès de 3.

OU

Trouvez le complément à 1 du code XS-3 de subtrahend et ajoutez-le au code XS-3 de minuend en utilisant les règles d'addition XS-3.

Étape 2 : Si le report est généré par un groupe de 4 bits, ajoutez 0011 au terme total de ce groupe de 4 bits.

Terminez également le report généré par MSB.

Étape 3 : Si aucun report n'est généré par l'ajout de MSB, cela signifie que le résultat final est négatif.

Tout d'abord, soustrayez 0011 du terme de somme de tous les groupes de 4 bits qui n'ont généré aucune retenue.

Maintenant, prenez le complément de 9 du résultat en décimal, puis convertissez-le en code XS-3 ou, de manière alternative, prenez le complément de 1 'du résultat.

Exemple: Effectuez (47)₁₀- (32)₁₀ par soustraction XS-3 en utilisant la méthode du complément à 9.

Solution:

Soustraction Excès-3 en utilisant le complément à 9 :

Code XS-3

2. Soustraction Excès-3 en utilisant le complément à 10

Complément à 10 de n'importe quel nombre décimal = Complément à 2 du code XS-3 de ce nombre décimal.

Prenons le nombre décimal (24)₁₀

Complément par 10 de (24)₁₀ = (76)₁₀

Code excès-3 pour (76)₁₀ = 1010 1001

Maintenant code Excès-3 de (24)₁₀ = 0101 0111

Complément à 2 de 0101 0111 = 1010 1000 = Code excès-3 pour (76)₁₀

Les étapes de la soustraction XS-3 en utilisant le complément à 10 sont :

Étape 1 :

Recherchez le complément par 10 du subtrahend, puis convertissez à la fois le minuend et le complément par 10 du subtrahend en code XS-3.

Ajoutez maintenant les deux en utilisant les règles d'addition XS-3.

OU (autre manière)

Trouvez le complément à 2 du code XS-3 de subtrahend et ajoutez-le au code XS-3 de minuend.

Étape 2 :

Si le report est généré par MSB, ignorez-le.

Ajoutez 0011 pour additionner les termes de tous les groupes de 4 bits qui génèrent le report.

Étape 3 :

Si aucun report n’est généré par MSB, le résultat est négatif.

Tout d’abord, soustrayez 0011 des termes de somme de tous les groupes de 4 bits qui ne génèrent aucune retenue.

Maintenant, prenez le complément à 10 du résultat sous forme décimale, puis convertissez ce résultat en code XS-3 ou bien prenez le complément à 2 du résultat dans XS-3.

Exemple: Effectuez (36)₁₀ - (24)₁₀ par soustraction XS-3 en utilisant la méthode du complément à 10.

Soustraction XS-3 en complément à 10 :

Code XS-3